Il teorema di Napoleone

(a cura di Roberto Bigoni)


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(English)

Si attribuisce a Napoleone Bonaparte la dimostrazione del seguente teorema:

Se sui lati di un triangolo qualunque si costruiscono tre triangoli equilateri esterni a quello dato e si congiungono i loro centri, si ottiene un triangolo equilatero.

Tra le numerose dimostrazioni disponibili in rete, la più diretta e la più adatta all'ambiente liceale italiano sembra la seguente, presentata nel sito cut-the-knot e leggermente adattata nella grafica.

napoleone

Con riferimento alla figura, si noti innanzitutto che m è due terzi dell'altezza del triangolo equilatero di lato c e n è due terzi dell'altezza del triangolo equilatero di lato b:

fig. 1

Applicando il teorema del coseno al triangolo APR si ha

fig. 2

Sempre per il teorema del coseno, nel triangolo ABC si ha

fig. 3

Sostituendo questo risultato nella precedente espressione e ricordando che bcsenα è il doppio dell'area S del triangolo ABC, si ha

fig. 4

In definitiva, dato il triangolo ABC, il lato PR è costante, quindi PR=PQ=QR, cioè il triangolo PQR è equilatero.

 


ultima revisione: 28/01/2016