Il teorema di Tolomeo

Un teorema di geometria piana un po' trascurato nella didattica liceale corrente, ma che invece può rivelarsi utile in varie situazioni, è il cosiddetto teorema di Tolomeo:

In un quadrilatero inscritto in una circonferenza, il prodotto delle misure delle diagonali è uguale alla somma dei prodotti delle misure dei lati opposti.

Dimostrazione

Tesi:

Scegliere sulla diagonale AC un punto P tale che l'angolo APB sia congruente con l'angolo BCD. In questo modo si costruisce il triangolo APB che è simile al triangolo BDC. Infatti anche gli angoli BAP e BDC sono congruenti in quanto sono angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco BC.

I lati corrispondenti sono proporzionali, quindi

Anche i triangoli BPC e ABD risultano simili perché gli angoli PBC e ABD sono congruenti in quanto somme di angoli uguali e PCB e ADB sono congruenti in quanto insistono sullo stesso arco AB.

I lati corrispondenti sono proporzionali, quindi

Sommando membro a membro le uguaglianze di prodotti ottenuti si ottiene la tesi.

Il teorema di Tolomeo è una generalizzazione del teorema di Pitagora. Infatti ogni rettangolo è un quadrilatero inscrivibile nella circonferenza con un diametro coincidente con una delle sue diagonali.

Applicando il teorema di Tolomeo al rettangolo ABCD, dato che i lati opposti e le diagonali sono congruenti, si ottiene immediatamente

cioè nel triangolo rettangolo ABC la somma dei quadrati delle misure dei cateti è uguale al quadrato della misura dell'ipotenusa.

Si consideri il quadrilatero ABCD inscritto inscritto in una circonferenza di diametro unitario e tale che la diagonale AC coincida con un diametro.

Si tracci il diametro DE e quindi la corda EB. Il triangolo DEB è rettangolo e l'angolo acuto DEB è congruente con l'angolo BAD poiché entrambi sono angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco BD. Risulta quindi

Questa è la formula di addizione per il seno da cui possono essere dedotte molte altre identità sulle funzioni circolari.

Si consideri un triangolo qualunque ABC, i cui lati misurino rispettivamente a, b e c; si tracci la circonferenza ad esso circoscritta e si tracci da un suo vertice, ad esempio B, la parallela al lato opposto che interseca la circonferenza in D; si chiuda infine il quadrilatero tracciando il segmento DC.

Il quadrilatero ABDC è un trapezio isoscele, in cui i lati obliqui e le diagonali sono congruenti ed hanno quindi uguale misura.

Si è ottenuta una notevole relazione tra i quadrati dei lati di un triangolo qualunque che generalizza il teorema di Pitagora.

In un triangolo qualunque il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due meno il doppio del loro prodotto per il coseno dell'angolo tra essi compreso.