Y557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
CORSO SPERIMENTALE - P.N.I.
CORSO SPERIMENTALE

 

Tema di MATEMATICA

 

Il candidato scelga a suo piacimento due dei seguenti problemi e li risolva.


 

  1. Sia f(x) una funzione reale di variabile reale tale che valgano le seguenti condizioni

    f (xo )>0,   f' (xo )>0,   f'' (xo )=0,

    dove xo è un particolare valore reale.

    1. Spiegare perché tali condizioni non sono sufficienti a determinare l'andamento di f(x) in un intorno di xo.

    2. Trovare almeno tre funzioni polinomiali f(x) di grado superiore al 1°, aventi andamenti diversi in xo=0, tali che

      f(0)=1,   f'(0)=1,   f''(0)=0.

    3. Determinare, se possibile, tutte le retta tangenti ai grafici delle funzioni trovate e parallele alla retta di equazione
      y = x + 1.

    4. A complemento del problema dimostrare la formula che esprime la derivata, rispetto a x,
      della funzione xn dove n è un intero qualsiasi non nullo.

    Risoluzione
  2.  


     

  3. Nel piano, riferito ad un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnati i punti
    A(0,2), B(1,1), C(1,0).

    1. Trovare l'equazione della circonferenza γ inscritta nel triangolo OAB.

    2. Determinare le equazioni dell'affinità α che ha come punti uniti i punti O e C e trasforma il punto B nel punto A.

    3. Calcolare l'area del triangolo CAA', dove A' è il punto trasformato di A nell'affinità α.

    4. Stabilire se l'affinità &alpha ha altri punti uniti, oltre ad O e C, e trovare le sue rette unite.

    5. Stabilire quali, fra le rette unite trovate, risultano tangenti o esterne a γ.

    Risoluzione
  4.  


     

  5. Assegnata la funzione

    fig001.gif

    dove il logaritmo si intende in base e, il candidato:

    1. determini per quali valori di a e b la f(x) ha un minimo relativo nel punto

      fig002.gif

    2. disegni la curva grafico della f(x) per i valori di a e b così ottenuti e calcoli l'area della regione finita da essa delimitata con l'asse x.

    Calcoli infine la probabilità che lanciando un dado cinque volte, esca per tre volte lo stesso numero.

    Risoluzione

 


Durata massima della prova: 5 ore.
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