Il semiperimetro del triangolo OAB è
Considerando il lato OA a l'angolo retto opposto OBC si ha, per una nota relazione trigonometrica, che il raggio r della circonferenza inscritta è
L'incentro appartiene a tutte le bisettrici degli angoli interni, in particolare alla
bisettrice dell'angolo OBA, che è evidentemente la retta di equazione y = 1.
L'ordinata dell'incentro è quindi 1. La circonferenza inscritta deve essere tangente
all'asse delle ordinate, quindi l'ascissa dell'incentro coincide con la misura del raggio.
L'incentro I è quindi
L'equazione della circonferenza inscritta risulta quindi
In generale, le equazioni di un' affinità sono di tipo
L'origine viene trasformata in se stessa, dunque l'affinità è una trasformazione lineare
C ( 1 ; 0 ) si trasforma in se stesso, quindi
per cui
Infine, B ( 1 ; 1 ) si trasforma in A ( 0 ; 2 )
Le equazioni di α sono quindi
Applicando α alle coordinate di A ( 0 ; 2 ) si ottiene A ' ( -2 ; 4 ).
L'area del triangolo CAA' è data da
I punti uniti di α si trovano risolvendo il sistema
vero per qualunque punto dell'asse delle ascisse. Quindi tutti i punti dell'asse delle ascisse sono punti uniti di α. Ovviamente l'asse delle ascisse è una retta unita.
Una retta unita r: y = m x + q si trasforma in se stessa. Per determinare i parametri m e q si calcola la sua trasformata e si impone che i suoi parametri m' e q' coincidano rispettivamente con m e q. Deducendo x e y in funzione di X e Y si ha
La trasformata di r risulta quindi
Uguagliando i coefficienti, per il principio di identità dei polinomi,
Le soluzioni del sistema sono
La prima soluzione fa ritrovare l'asse delle ascisse, già individuato.
Dalla seconda si desume che tutte le rette del fascio f: y = - x + q sono rette unite.
Ovviamente l'asse delle ascisse è esterno alla circonferenza γ.
Le rette del fascio f sono tangenti o esterne a γ se la loro distanza dal centro I non è minore del raggio r
