Appunti per i Licei Scientifici
(da Note Didattiche)
Dati in un piano una retta d e un punto F esterno a d e distante f da d, si dice conica l'insieme dei punti P del piano tali che, detta H la loro proiezione ortogonale su d, il rapporto PF/PH abbia valore costante e (e>0).
La retta d è detta direttrice della conica e il punto F è detto fuoco della conica.
Il rapporto e è detto eccentricità della conica; il prodotto p=ef è detto parametro della conica.
Per descrivere analiticamente una conica di eccentricità e e
parametro p si può scegliere un sistema di riferimento polare con polo
in F e semiasse polare dato dalla semiretta con origine in F,
perpendicolare a d e orientata verso la parte opposta a d.
La retta contenente il semiasse polare è detta asse polare.
In tale sistema ad ogni punto P del piano è associata biunivocamente una coppia
di numeri reali (ρ;θ), detti rispettivamente modulo e anomalia di
P, tali che
dove X rappresenta un punto della semiretta polare KF successivo ad F e l'angolo θ è orientato in senso antiorario, misurato in radianti e compreso nel primo giro.
In questo sistema di riferimento la (1.1) diventa
da cui
e, indicando il prodotto ef con p,
Questa è l'equazione polare di una conica di parametro p ed eccentricità e.
Poiché il coseno è una funzione pari, cioè assume lo stesso valore per argomenti opposti, la (2.3) esplicita una importante caratteristica di tutte le coniche: sono simmetriche rispetto all'asse polare.
Dalla (2.3) si deduce inoltre che quando θ è un angolo retto ρ coincide con p;
questa osservazione permette di interpretare geometricamente il parametro p:
p coincide con la distanza dal fuoco dei due punti della conica di anomalie rispettivamente
.
Volendo ottenere l'equazione della conica in coordinate cartesiane, si può scegliere come sistema di riferimento un sistema xFy con origine nel fuoco F, con l'asse delle ascisse coincidente con l'asse polare e con l'asse delle ordinate perpendicolare all'asse polare per F.
In tale sistema di riferimento si ha
Dalla prima delle (3.1) si ricava
e, elevando al quadrato entrambi i membri della (3.1),
Sostituendo la (3.2) nella (3.3) ed eseguendo le naturali semplificazioni si ottiene
Va notato che la (3.4), ottenuta elevando al quadrato entrambi i membri della (3.1), è suvvalente a quest'ultima e quindi il luogo descritto dalla (3.1) è un sottinsieme del luogo descritto dalla (3.4). Usualmente la denominazione di conica si estende ai luoghi descritti dalla (3.4).
La (3.4) può essere scritta
Si dimostra che, se P(xP,yP) è un punto della conica, allora l'equazione della retta tangente alla conica nel punto P è
cioè l'equazione della tangente può essere ricavata direttamente da quella della conica:
Se l'eccentricità è nulla, la (2.3) diventa semplicemente
cioè la conica è il luogo dei punti di modulo costante, vale a dire il luogo dei punti che hanno ugual distanza dal polo F. La conica è quindi la circonferenza di centro F e raggio p.
Volendo ottenere l'equazione della circonferenza in coordinate cartesiane ortogonali, ponendo e=0 nella (3.4) si ottiene
Se l'eccentricità è uguale a 1 la conica è il luogo dei punti equidistanti da fuoco e direttrice e, usando una nomenclatura introdotta da Apollonio di Perga, è detta parabola.
In questo caso p coincide con f e la (2.3) diventa
Poiché il denominatore del secondo membro non si può annullare, è immediato dedurre che una parabola non ha punti di anomalia nulla e che quando l'anomalia di un punto della parabola tende a 0 o a 2π la distanza del punto dal fuoco tende all'infinito.
La distanza di un punto dal fuoco è minima quando θ è uguale a π, caso in cui
tale distanza è la metà di f.
Il punto V più vicino al fuoco è detto vertice della parabola e si trova
sull'asse polare nel punto medio del segmento FK.
L'equazione della parabola in coordinate cartesiane ortogonali nel sistema xFy si ottiene immediatamente dalla (3.4) con e=1:
Se si assoggetta la (6.2) alla traslazione
che sposta l'origine del sistema di riferimento da F a V, si ottiene
L'equazione (6.3) permette di costruire con riga e compasso la parabola dati vertice e parametro.
Esprimendo x in funzione di y
In generale si potrà dire che ogni equazione
rappresenta una parabola simmetrica rispetto all'asse delle ascisse con vertice nell'origine e fuoco e direttrice dati da
Analogamente, ogni equazione
rappresenta una parabola simmetrica rispetto all'asse delle ordinate con vertice nell'origine e fuoco e direttrice dati da
Approfondimento: Area del segmento parabolico
Approfondimento: Proprietà ottica del fuoco
Se l'eccentricità della conica è compresa tra 0 e 1 la conica è detta ellisse.
In questo caso il denominatore della (2.3) è sempre positivo e tutti i punti dell'ellisse hanno distanza finita dal fuoco.
In particolare: il punto V' di distanza minima è quello di anomalia θ=π che dista dal fuoco
il punto V'' di distanza massima è quello di anomalia θ=0 che dista dal fuoco
Questi due punti sono detti vertici dell'ellisse e sono ovviamente situati sull'asse polare su cui è situato anche F.
Nel sistema xFy le ascisse dei vertici si ottengono ponendo y=0 nell'equazione (3.4)
Il segmento V''V' è detto asse focale dell'ellisse e la sua misura risulta
Indicando con a la misura del semiasse focale si ha
Un'equazione cartesiana dell'ellisse alternativa rispetto alla (3.4) può essere ottenuta scegliendo come origine O il punto medio del segmento V"V', mantenendo come asse delle ascisse l'asse polare e come asse delle ordinate la perpendicolare all'asse delle ascisse per l'origine.
L'ascissa del punto medio di V''V' è
da cui
e quindi, usando la (7.4), dalla (7.2) si ottiene
La traslazione nel nuovo sistema di riferimento è
Traslando la (3.4) si ottiene
Ponendo
si ha
e infine
La (7.6) è detta equazione canonica dell'ellisse.
Dato che l'equazione della curva dipende solo dai quadrati delle variabili essa risulta simmetrica sia rispetto all'asse delle ascisse sia rispetto all'asse delle ordinate sia rispetto all'origine. Per x=0 si ha y = ± b. Il parametro b rappresenta quindi la misura del semiasse minore.
La simmetria della curva implica che, oltre al fuoco usato come polo nella (2.3), di ascissa -c, la curva ammette un altro fuoco ad esso simmetrico di ascissa +c.
Si dimostra che per qualunque punto dell'ellisse la somma delle sue distanze dai fuochi è uguale alla misura dell'asse maggiore, cioè 2a.
Costruzione dell'ellisse dati i semiassi a e b. Area delle'ellisse. Area del segmento ellittico.
Se l'eccentricità della conica è maggiore di 1 la conica è detta iperbole.
Poiché ρ è intrinsecamente positivo anche il denominatore della (2.3) deve essere positivo: quindi sono ammissibili solo punti per i quali
cioè
Quando θ si avvicina agli estremi di questo intervallo la distanza del punto dal fuoco tende all'infinito, quindi le iperboli, come le parabole e a differenza delle circonferenze e delle ellissi, sono curve che non si chiudono.
Il punto V' di distanza minima è quello di anomalia θ=π che dista dal fuoco
Questo punto è detto vertice dell'iperbole ed è ovviamente situato sull'asse polare su cui è situato anche F.
Tuttavia la (3.4), che è suvvalente alla (2.3), per y=0, fornisce le ascisse (7.1) che, per evidenziare che con e>1 sono entrambe negative e il loro ordinamento, si riscrivono
Denominando V'' il punto di ascissa minore (vertice secondario), il segmento V''V' è detto asse reale dell'iperbole e la sua misura risulta
Indicando con a la metà di questa distanza si ha
Come si è fatto per l'ellisse, una equazione per l'iperbole alternativa alla (3.4)
può essere ottenuta traslando l'origine del sistema di riferimento da F a O, punto medio
dell'asse reale.
L'ascissa di tale punto medio, nel sistema xFy, è
e quindi
Usando la (8.4) dalla (8.2) si ottiene
La traslazione nel nuovo sistema di riferimento è
Traslando la (3.4) si ottiene
Ponendo
si ha
e infine
La (8.6) è detta equazione canonica dell'iperbole.
Questa equazione è più generale della (2.3) perché è stata ottenuta uguagliando due
espressioni del quadrato del modulo ρ. Dato che l'equazione della curva dipende solo dai
quadrati delle variabili essa risulta simmetrica sia rispetto all'asse delle ascisse sia
rispetto all'asse delle ordinate sia rispetto all'origine.
La simmetria della curva implica che, oltre al fuoco usato come polo, di ascissa c,
la curva ammette un altro fuoco ad esso simmetrico di ascissa -c.
Scrivendo la (8.6) nella seguente forma
si osserva che la curva non ammette punti reali nella regione (-a<x<a). La curva è formata da due rami separati.
Si osserva inoltre che per x di valore assoluto crescente la curva tende ad assimilarsi alla coppia di rette
passanti per l'origine e di coefficienti angolari
dette asintoti dell'iperbole
Si dimostra che per qualunque punto dell'iperbole il modulo della differenza delle sue distanze dai fuochi è uguale alla misura dell'asse maggiore, cioè 2a.
Costruzione dell'iperbole dati i semiassi a e b
ultima revisione: 18/03/2011
