Costruzione dell'ellisse dati gli assi.
Area.
Segmento ellittico.

Appunti per i Licei Scientifici
(a cura di Roberto Bigoni)


1. Equazioni parametriche dell'ellisse

Dall'equazione canonica dell'ellisse immediato dedurre le espressioni delle coordinate di un punto P dell'ellisse in funzione di una variabile comune rappresentata dall'angolo α che il vettore OP (dove O l'origine del sistema canonico) forma con l'asse delle ascisse.

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Infatti, posto

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elevando al quadrato entrambi i membri e sommando membro a membro si ottiene l'equazione canonica

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Esprimendo x e y in funzione di α

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si ottengono le equazioni parametriche dell'ellisse.

 


2. Costruzione dell'ellisse

Le equazioni parametriche di x e y si possono interpretare rispettivamente come ascissa e ordinata dei due punti A e B intercettati su due circonferenze centrate sull'origine O, una di raggio OA di misura a e l'altra di raggio OB di misura b, dalla semiretta uscente dall'origine O che forma un angolo α con l'asse delle ascisse.

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Il punto E della figura, che ha ascissa uguale a quella di A e ordinata uguale a quella di B, un punto dell'ellisse di semiassi a e b.

Con strumenti come Cabri-Gomtre si pu facilmente generare il luogo dei punti E visualizzando l'ellisse.

 

 


3. Area dell'ellisse

Confrontando le ordinate yE e yA dei punti E e A della costruzione proposta, da

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si ottiene

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cio l'ordinata di un punto E sull'ellisse di semiassi a e b b/a dell'ordinata del punto A di uguale ascissa sulla circonferenza di centro coincidente con quello dell'ellisse e di raggio a.

Se, considerando per semplicit solo i punti di ordinata positiva, per ogni punto E e ogni punto A, si costruiscono rettangoli di base comune dx e altezze rispettive yE e yA, i primi rettangoli hanno area b/a di quella dei secondi.

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Di conseguenza la somma di tutti i primi rettangoli b/a della somma di tutti i secondi. Ma per dx tendenzialmente nulli, la prima somma l'area di mezza ellisse e la seconda somma l'area di mezzo cerchio. In conclusione, l'area di mezza ellisse b/a dell'area di mezzo cerchio e, ovviamente, l'area dell'ellisse b/a di quella del cerchio.

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4. Area del segmento ellittico

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Una retta parallela all'asse delle ordinate di equazione fig10.gif delimita la figura EE'V (colorata in viola nella figura) che viene denominata segmento ellittico retto. L'area ε di questa figura risulta b/a dell'area η del segmento circolare AA'V. A sua volta l'area η pu essere ottenuta sottraendo dall'area σ del settore circolare AOA'V l'area τ del triangolo AOA'

L'area σ sta all'area del cerchio come il suo angolo al centro AOA' sta all'angolo giro, cio come la sua met α=AOV sta all'angolo piatto.

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L'area τ risulta

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Quindi l'area η

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e l'area ε

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Volendo esprimere quest'area in funzione di h si ha

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Esempio.

Data un'ellisse di semiassi a=4 e b=3, le aree dei segmenti ellittici che si ottengono tagliandola parallelamente all'asse minore ad una distanza h=2 dal centro misurano

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