Accelerazione di gravità
g: accelerazione di gravità
Per accelerazione di gravità s'intende l'accelerazione alla quale i corpi sono sottoposti in condizione di caduta libera dovuta al loro peso.
La direzione di g è la retta (il moto di caduta dei gravi può infatti essere considerato un caso particolare di moto rettilineo uniformemente accelerato) che congiunge il corpo al centro della Terra, verso il quale il vettore è diretto e in prossimità della superficie terrestre il valore in modulo dell'accelerazione di gravità media è g=(9.80665 ± 0.00001) m/s2.
Tale valore è stato ottenuto tramite l'analisi della rete gravimetrica mondiale, tracciata in seguito alla cooperazione tra enti internazionali nel rilevamento dell'accelerazione di gravità locale nelle varie regioni del pianeta (in questi rilevamenti anche l'Italia ha avuto un ruolo di primo piano poiché la prima misurazione accurata di g nel continente antartico è stata effettuata alla base italiana nella Baia di Terranova).
Non è possibile esprimere un valore assoluto di g poiché esso non è costante per ogni punto del globo terrestre in quanto dipende da fattori che variano di zona in zona, ad esempio:
- La densità della Terra non è omogenea a causa della sua stratificazione interna e della presenza di giacimenti a livello della crosta dai quali g verrà influenzata
- La Terra gira attorno al suo asse, passante per i poli e inclinato rispetto al piano dell'eclittica, per cui ogni corpo posto sulla superficie terrestre non sarà sottoposto alla sola accelerazione di gravità, ma anche all'accelerazione centripeta dovuta a questa rotazione
- La Terra non è perfettamente sferica poiché risulta schiacciata presso poli e la sua superficie presenta rilievi e avvallamenti.
Data la legge di gravitazione universale elaborata da Newton
(dove M è la massa della Terra e m la massa di un corpo sulla sua superficie a distanza r dal centro) se la si eguaglia alla forza peso a cui è sottoposto lo stesso corpo di massa m posto sulla superficie terrestre (è legittimo eguagliare le due forze poiché entrambe esprimono l'attrazione esercitata dalla Terra sul corpo) si ha che
e poiché r2 varia a seconda della latitudine e dell'altitudine del luogo considerato anche g non potrà risultare costante.(L'ultima equazione è stata semplificata dividendo entrambi i membri per m, operazione che è divenuta possibile solo in seguito agli esperimenti di Eötvos che hanno dimostrato la sostanziale equivalenza tra massa inerziale e massa gravitazionale).
Descrivendo i moti naturali Aristotele sosteneva che ve ne fossero soltanto di due tipi: quello circolare uniforme, per i pianeti, eterei e perfetti, e quello rettilineo, perpendicolarmente alla superficie terrestre, per gli enti fisici i quali a seconda del loro peso o cadevano verso il basso o si levavano verso il cielo.Il peso di ogni ente, poi, oltre a determinarne la direzione di caduta influiva, nella concezione aristotelica, anche sulla velocità con cui tale caduta avveniva determinandone una maggiore accelerazione quanto più il peso fosse stato maggiore.
Questa teoria ebbe grande fortuna fino al '600 quando fu confutata ad opera di Galileo.
Egli sostenne infatti che immaginando tre blocchi (di uno stesso materiale ed esattamente uguali per forma e dimensione) lasciati cadere liberamente nel vuoto non esisteva motivo per pensare che sarebbero caduti a velocità differenti.Avendo poi osservato che solo unendo mobili che hanno velocità differenti il più lento ritarda il più veloce, mentre se si uniscono mobili che hanno la stessa velocità il sistema ottenuto non subisce né decelerazioni né accelerazioni, poté anche concludere che se si fosse immaginato di legare due dei precedenti blocchi e di aver poi lasciato cadere tale sistema insieme con il blocco rimanente eliminando l'attrito dell'aria (il cui effetto non sarebbe stato il medesimo sul blocco e sul sistema) di nuovo ci si sarebbe dovuti aspettare di vederli cadere alla stessa velocità.
Con questa dimostrazione logica Galileo riuscì non solo a confutare le posizioni aristoteliche, ma anche a ipotizzare l'esistenza di una accelerazione che agisse sui corpi in caduta indipendentemente dal loro peso.
Facendo poi cadere (si dice dalla torre di Pisa, città in cui nacque il 15 febbraio 1564) blocchi di materiale diverso, ma di forma e dimensione uguali in modo da vanificare l'effetto dell'attrito dell'aria, notò che non era possibile stimare nella loro caduta differenti variazioni di velocità e arrivò a svincolare la suddetta accelerazione,già indipendente dal peso, anche dalla forma e dalla composizione dei singoli corpi.Concluse così che tutti i corpi in caduta libera in prossimità della Terra sono sottoposti alla stessa accelerazione.
Fu dunque Galileo il primo ad intuire e dimostrare l'esistenza di g della quale dimostrò la costanza locale (non dipendendo da nessuna delle caratteristiche intrinseche dei corpi essa agisce infatti allo stesso modo su ognuno di essi a condizione che si trovi nello stesso spazio), ma della cui variazione in rapporto ad altitudine e latitudine non fece esperienza.
- Benché Galileo sia vissuto secoli prima che la complessa struttura dell’atomo fosse conosciuta si noti che il suo esperimento, essendo stato condotto con materiali diversi, mostra che gli oggetti vengono accelerati allo stesso modo indipendentemente dalla loro composizione e quindi che le forze nucleari, nonostante siano differenti da atomo ad atomo, non hanno alcun effetto su g così come l’energia elettrostatica degli atomi o le velocità dei loro elettroni. -
Ulteriori sperimentazioni lo portarono poi ad osservare che la distanza percorsa dai corpi in caduta è proporzionale al quadrato del tempo impiegato per percorrerla deducendo quindi l'equazione oraria del moto di caduta libera:
r(t)=0.5gt2.
Anche gli studi condotti sui pendoli, del cui moto oscillatorio aveva osservato la proporzione tra il quadrato del periodo e la lunghezza, avrebbero potuto portare Galileo alla scoperta di g, ma il fisico toscano tentò piuttosto di utilizzarli come meccanismi regolatori per gli orologi abbozzandone progetti rimasti però incompiuti a causa della morte sopraggiunta nel1642.
Per il secondo principio della dinamica, F=ma, l'esistenza di un'accelerazione rimanda necessariamente all'esistenza di una forza a lei proporzionale secondo una costante detta massa inerziale.
Anche l'accelerazione di gravità doveva dunque essere collegata alla presenza di una forza e fu lo stesso Newton a cogliere tale necessità e a dirigere i suoi studi verso l'elaborazione della legge di gravitazione universale.
Tra i contributi che questa comportò vi fu la dimostrazione che la fisica terrestre e la fisica sublunare obbedivano alle stesse leggi, teoria che si scontrava apertamente con il modello aristotelico che voleva una profonda e inconciliabile differenza tra la natura e i moti degli astri e quelli della Terra. Se Keplero con le sue leggi sulla cinematica dei corpi celesti aveva confutato lo schema astronomico elaborato da Aristotele, Newton riusciva così a dimostrarne la fallacia anche dal punto di vista della dinamica.
La legge di gravitazione universale prevede che ogni corpo nell'Universo attiri gli altri benché talvolta gli effetti di tale attrazione non risultino visibili poiché la presenza di corpi molto massicci rende trascurabili le interazioni che gli altri corpi esercitano tra loro.
La predominanza di un'attrazione sulle altre è dovuta al fatto che il modulo della forza di gravitazione è
che significa che ogni particella ne attira un'altra con una intensità dipendente dalla sua massa. - Nell'equazione G rappresenta la costante di gravitazione universale, m1 e m2 le masse interagenti e r la distanza tra queste.-
Due uomini sulla superficie terrestre esercitano l'uno sull'altro una forza di attrazione che però non viene riscontrata poiché la forza di gravitazione con la quale sono attratti dalla Terra è molto maggiore in virtù della sua massa. I due uomini anche se si trovassero a pochi metri l'uno dall'altro possono essere considerati a distanza infinita poiché la forza di gravitazione esistente tra loro è praticamente nulla ed essendo F espressa con una frazione è ragionevole pensare che quando il numeratore è diverso da zero (il prodotto tra le masse e G è sempre positivo) essa tenda a zero nel caso in cui il denominatore tenda all'infinito.
L'esistenza dell'attrazione di gravitazione tra due corpi qualsiasi è verificabile con l'utilizzo di un pendolo di torsione, strumento utilizzato da Cavendish che per primo valutò sperimentalmente G.
La forza di gravitazione universale è anche la forza con cui interagiscono i corpi che orbitano attorno al fuoco dell'ellisse descritta nel periodo di rivoluzione in cui si trova il corpo dal dal quali sono attratti (es. il Sole ed i pianeti del sistema solare).
L'espressione vettoriale della forza di gravitazione risulta
dove ur è il versore radiale diretto dal fuoco dell'ellisse al corpo orbitante.
Un limite della teoria newtoniana sulla gravitazione universale risiede nell'incapacità del suo autore di rispondere alle obiezioni mosse da coloro, tra i quali il vescovo Berkley, che chiedevano spiegazioni sulle dinamiche dell'azione a distanza, non comprendendo in virtù di quale principio due corpi lontani tra di loro e non in comunicazione potessero interagire. A tale critica Newton non trovò mai una risposta e dovette limitarsi a sottolineare l'efficacia del modello che risultava migliore di tutti gli esempi precedenti e al quale era dunque conveniente affidarsi.
La soluzione fu trovata solo all'inizio del '900 quando Einstein elaborò la teoria della relatività generale.
Egli interpretando la costanza dell'accelerazione gravitazionale locale, dimostrata con gli esperimenti di Eötvos che non avevano riscontrato differenze apprezzabili tra la massa gravitazionale e la massa inerziale di un corpo, come una proprietà intrinseca dello spazio fisico arrivò ad ipotizzare che le masse incurvassero lo spazio e che l'attrazione tra due corpi altro non fosse che l'effetto del loro moto in uno spazio temporale tutt'altro che inerte, come invece era precedentemente considerato, in cui valgono leggi geometriche diverse da quelle euclidee. (Per cui,ad esempio, due cammini paralleli in prossimità di una curva spazio temporale potrebbero trovarsi a convergere).