Se il campione è un insieme ordinato di n valori reali discreti xk che possono essere attribuiti alla variabile reale x, una funzione reale p(xk) tale che
è detta distribuzione discreta di probabilità e x è detta variabile casuale o stocastica o aleatoria.
Per semplificare l'esposizione, in questa pagina si pone
quindi
Data una distribuzione discreta di probabilità, se ne possono rappresentare le caratteristiche globali usando due importanti descrittori detti media (o valor medio) e varianza.
La media è data da
Se si rappresenta con ξk lo scarto del valore xk dalla media,
la varianza, espressa da σ2 è la media dei quadrati degli scarti:
La radice quadrata della varianza è detta deviazione standard della popolazione:
La deviazione standard è un altro importante descrittore in quanto esprime la dispersione dei valori xk attorno alla media: la dispersione cresce al crescere di σ.
Teorema: La varianza è data dalla differenza tra la media dei quadrati e il quadrato della media.
Dimostrazione:
Se gli n valori pk sono tutti uguali, la distribuzione è detta uniforme.
Dalla seconda delle (3.1) si ha
In particolare, se xk=k, la media è
Si è applicata l'uguaglianza
nota dalla teoria delle progressioni aritmetiche.
Per la (3.6), in questo caso la varianza è
Si è applicata l'uguaglianza
ottenuta per induzione.
La deviazione standard è
Esempio
Nel lancio di un dado ognuno dei sei punti k ha probabilità
.
Il valor medio è
La varianza è
e la deviazione standard
Dato il numero n di prove e la probabilità p, la funzione pk=Pn,k nella (2.9) rappresenta distribuzione di probabilità di una variabile casuale k che può assumere valori interi da 0 a n: infatti si constata facilmente che questa funzione verifica le condizioni (3.1.1). In particolare, dato che per ipotesi p+q=1,
Questa distribuzione di probabilità è detta distribuzione binomiale o distribuzione bernoulliana.
Applicando la (3.2), il valor medio della variabile casuale binomiale k in n prove è
Se si sviluppa il secondo membro si ha
e infine
Inoltre si ha
Lo sviluppo del secondo membro dà
L'espressione tra parentesi può essere suddivisa in due somme
s2 è il valor medio della variabile casuale binomiale k in n-1 prove, quindi dalla (3.10),
Si ottiene così
e infine
La seguente applicazione JS calcola le caratteristiche di una distribuzione binomiale.
La probabilità p può essere scritta come decimale (< 1) o come frazione propria.
Le probabilità in ordinata sono espresse in percentuale.
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Se p tende a 0 e n tende all'infinito, la distribuzione binomiale converge alla distribuzione di Poisson.
In questo caso, se λ rappresenta il valor medio della distribuzione, si ha
L'uguaglianza (3.14) può essere ottenuta nel seguente modo:
Dalla (2.9) si ha
Se n→∞ e p→0
quindi 
Se p→0, q→1, quindi, dalla (3.12),
La seguente applicazione JS, in una distribuzione di Poisson di media λ prefissata, calcola la probabilità che un evento si verifichi k volte.
La media λ può essere scritta come decimale o come frazione. Per vedere le tabelle bisogna permettere al proprio browser di mostrare i popup.
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La seguente applicazione JS rappresenta una distribuzione di Poisson di media λ prefissata.
La media λ può essere scritta come decimale o come frazione.
Le probabilità in ordinata sono espresse in percentuale.
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