Un pendolo è un corpo che si muove di moto armonico, cioè secondo un movimento che si ripete ad intervalli regolari. Tale moto è generato dall'azione di una forza elastica la quale, obbedendo alla legge di Hooke (F=-kx), risulta sempre proporzionale all'opposto dello spostamento dalla posizione d'equilibrio del corpo stesso.
Galileo, interessato ad un approccio matematico allo studio dei moti, fu tra i primi a realizzare e a studiare i pendoli. Pare che l'interesse per tale strumento sia nato in seguito all'osservazione delle oscillazioni di una lampada appesa al soffitto della Cattedrale di Pisa. Gli ulteriori studi che compì gli permisero di identificare le relazioni che intercorrono tra il periodo, la massa e la lunghezza di un pendolo e di rilevare il suo isocronismo (cioè l'indipendenza del periodo di oscillazione dall'ampiezza di quest'ultime) proprietà che verrà però limitata nei decenni successivi ad opera di Huygens che dimostrerà che un pendolo risulta realmente isocrono solo per piccole oscillazioni. Per piccole oscillazioni il periodo risulta:
Per dimostrare tale uguaglianza ipotizziamo di studiare un pendolo ideale che in quanto tale sia composto da un filo privo di massa e inestensibile a cui sia attaccato un corpo puntiforme, ma dotato di una certa massa m, libero di compiere piccole oscillazioni attorno al suo vicolo. Se immaginiamo di spostare il pendolo dal suo punto di equilibrio, dove il peso di m viene perfettamente bilanciato dalla tensione del filo, la stessa forza peso si scomporrà tra la componente radiale e quella tangenziale delle quali soltanto la prima verrà annullata dalla tensione del filo, lasciando invece completamente incontrastata la seconda, che diventerà dunque la forza efficace che agisce sul pendolo. Tale forza sarà in modulo F=mgsinθ, dove θ rappresenta l'angolo di oscillazione. Per piccole oscillazioni, (θ->0) come quelle da noi considerate, θ tende a coincidere con sinθ per cui il modulo della forza si potrà indicare come F=mgθ. θ a sua volta può essere considerato come l'angolo al centro di un settore semicircolare il cui valore può quindi essere espresso dalla relazione
( dove per s s'intende l'arco descritto dala massa spostandosi dalla posizione di equillibrio e per l la lunghezza del filo). Sostituendo si ha quindi che il modulo della forza efficace è
diretta in senso opposto rispetto al verso del moto della massa nel suo percorso di spostamento. Tale espressione della forza descrive la forza efficace di un pendolo come forza elastica proporzionale all'opposto dello spostamento rispetto alla costante
.
Uguagliando infine la legge di Hooke F=-kx con il secondo principio della dinamica di Newton si ottiene che il modulo dell'accelerazione è
.
Considerando che nei moti armonici a=-ω2 x si può concludere che
Sostituendo
a k si trova che ω2 di un pendolo=g/l. Conoscendo poi la relazione tra w ed il periodo di un pendolo (w=2π/T) si arriva a dimostrare la relazione iniziale
Sfruttando questa relazione è possibile misurare sperimentalmente il valore di g, tuttavia a questo scopo non possiamo servirci del pendolo ideale poiché è di impossibile costruzione ed inoltre risentirebbe troppo degli effetti dell'attrito dell'aria.
Gli studi sui pendoli furono proseguiti nei decenni successivi dallo scienziato ed astronomo olandese Christian Huygens. Egli riuscì a terminare il progetto iniziato da Galileo Galilei, rimasto incompiuto a causa della sua morte, di realizzare orologi sfruttando come elemento base il pendolo. A questo scopo si avvalse (ed applicò) anche degli studi, condotti sempre da Galileo, sulla cicloide.
Egli capì che il pendolo circolare era isocrono soltanto per le piccole oscillazioni, mentre per la costruzione degli ingranaggi degli orologi era richiesto l'utilizzo di un pendolo che compisse qualsiasi tipo di oscillazione, indipendentemente dall'ampiezza, esattamente nello stesso tempo. Huygens dimostrò che tale garanzia veniva data solo dalla possibilità di trasformare il pendolo circolare in un pendolo che descrivesse una cicloide. Per ottenerlo costruì due guide a forma di cicloide da applicare al punto di sospensione del pendolo in modo tale da rendere una cicloide anche la sua evolvente. Con questi accorgimenti Huygens fu il primo a costruire un pendolo perfettamente isocrono che venne utilizzato non solo nell'orologeria, ma anche, ad esempio, nella navigazione, poiché contribuì a rendere possibile l'identificazione delle coordinate longitudinali e latitudinali di un corpo e verificò la variazione dell'accelerazione di gravità secondo la latitudine.
Per pendolo reale si intende un qualsiasi corpo esteso dotato di massa libero di oscillare attorno ad un punto fisso detto vincolo. L'equilibrio stabile di tale corpo si ha quando il suo baricentro si trova allineato ol vincolo attorno a cui si muove.
Sul corpo agisce la forza peso che possiamo considerare applicata al baricentro che per corpi non troppo estesi, per i quali si può dedurre che ognuno dei punti di cui li si può immaginare composti siano sottoposti ad una g costante, coincide con il centro di massa . Spostando il corpo dalla posizione di equilibrio di un angolo θ, la parte scalare del momento di tale forza risulta essere τ= -dmgsenθ, dove d è la distanza tra il vincolo ed il baricentro ed il segno meno, in conformità alla legge di Hooke, indica che se θ è positivo, cioè frutto di una rotazione antioraria, la rotazione generata sarà oraria e viceversa. Come già ricordato per piccole oscillazioni, (θ ->0) il seno ed il suo argomento tendono a coincidere per cui si può scrivere τ=-dmgθ. Considerando il momento angolare come derivata del momento di inerzia del corpo rispetto all'asse di rotazione passante per il vincolo
ed uguagliando le due espressioni così ottenute si ha
Questa equazione differenziale, mostrando che la derivata seconda dell'angolo rispetto al tempo è proporzionale all'opposto dell'angolo stesso, dimostra che il moto del pendolo considerato è un moto armonico nel quale
La teoria dei momenti di inerzia ( Ι ) era stata introdotta da Huygens nell'opera "Horologium oscillatorium", dedicata a Luigi XIV, ed era stata poi approfondita con il contributo di Steiner nella formulazione del teorema degli assi paralleli che afferma che
il momento d'inerzia di un corpo che ruota attorno ad un asse qualsiasi è ugule alla somma tra il momento di inerzia del corpo rispetto ad un asse parallelo passante per il centro di massa e il prodotto tra la massa totale del corpo per il quadrato della distanza tra il c.d.m. e il punto attraversato dal primo asse.
Questi studi furono necessari a Kater (geodeta inglese vissuto tra il 1777 ed il 1835) per sfruttare vantaggiosamente la relazione
.
Poichè determinare I risulta complesso egli elaborò un nuovo tipo di pendolo che gli permettesse di eguagliare ad I un'espressione di dati quantificabili. Il pendolo che ideò è noto come pendolo reversibile o di Kater.
Per pendolo reversibile si intende un'asta massiccia dotata di coltelli cuneiformi che, posti alternativamente su un apposito supporto, permettono al pendolo di oscillare attorno ad entrambi. Sull'asta sono presenti una massa fissa ed una libera di scorrere tra un coltello e l'altro la cui posizione determina lo spostamento del baricentro del pendolo.
Kater dimostrò che trovando la posizione della massa libera per la quale il periodo di oscillazione attorno ad un coltello fosse stato uguale a quello ottenuto girando il pendolo e facendolo oscillare attorno all'altro cuneo, si riesce ad ottenere una stima della pulsazione ω indipendente da Ι. Infatti ottenuta la condizione di uguaglianza tra i periodi si può dedurre che la pulsazione del moto del pendolo sia uguale indipendentemente da quale coltello costituisca il punto di oscillazione:
dove d1 e d2 sono le distanze del baricentro rispettivamente dal primo (O1) e dal secondo (O2) cuneo. Semplificando si ottiene I1d2=I2d1. Per il teorema di Huygens Steiner
Sostituendo all'ultima equazione ottenuta:
che risolvendo mantenendo come incognita Ig da' : Ig=md1d2. Il teorema degli assi paralleli può dunque essere espresso con
.
La dimostrazione di questa uguaglianza permise a Kater di sostituire ad I nell'equazione di ω un valore facilmente misurabile:
d1+d2 può poi essere sostituito da d, distanza tra i due cunei, poichè questa lunghezza è esattamente uguale alle distanze di ogni singolo perno dal baricentro dal momento che i due coltelli, trovandosi sulla stessa sbarra, sono allineati rispetto al baricentro.
Ottenuta ω e ricordata la relazione tra questa ed il periodo
si può ricavare il valore locale di g misurando il periodo di oscillazione del pendolo.