4. Le leggi fisiche.

1. Relazioni fondamentali tra grandezze.

Come s'è detto illustrando le caratteristiche più importanti del metodo scientifico, una legge fisica può essere congetturata confrontando le misure corrispondenti di due grandezze variabili: una indipendente, modificata a piacere dallo sperimentatore, e una dipendente misurata dallo sperimentatore.

Un utile strumento di analisi di un fenomeno è la rappresentazione grafica della relazione tra queste grandezze, che si ottiene con un piano cartesiano mettendo in ascissa la variabile indipendente e in ordinata la variabile dipendente.

Le situazione idealmente più semplici che possono presentarsi con questa operazione sono due.

1. I punti si dispongono con buona approssimazione su una retta passante per l'origine: ciò significa che il rapporto tra ordinata e ascissa è costante. In questo caso si dice che le due grandezze sono direttamente proporzionali.

   xi yi 1 0.25 2 0.50 3 0.75 4 1.00 5 1.25

2. I punti si dispongono con buona approssimazione su una iperbole equilatera con asintoti negli assi: ciò significa che il prodotto tra ordinata e ascissa è costante. In questo caso si dice che le due grandezze sono inversamente proporzionali.

   xi yi 1 6.0 2 3.0 3 2.0 4 1.5 5 1.2 6 1.0

   Anche in questo secondo caso si può ottenere un grafico formato da punti allineati se si graficano le coppie costituite dai reciproci dei valori di x e i corrispondenti valori di y.

   1/xi yi 1 6.0 1/2 3.0 1/3 2.0 1/4 1.5 1/5 1.2 1/6 1.0

3. I punti si dispongono con buona approssimazione su una parabola con vertice nell'origine.

   xi yi 1 0.2 2 0.8 3 1.8 4 3.2 5 5.0

   Anche in questo terzo caso si può ottenere un grafico formato da punti allineati se si graficano le coppie costituite dai quadrati dei valori di x e i corrispondenti valori di y.

   xi2 yi 1 0.2 4 0.8 9 1.8 16 3.2 25 5

4. I punti si dispongono con buona approssimazione su una esponenziale.

   xi yi 0 0.20 1 0.33 2 0.54 3 0.90 4 1.48 5 2.44

   Anche in questo quarto caso si può ottenere un grafico formato da punti allineati se si graficano le coppie costituite dai valori di x e i logaritmi dei corrispondenti valori di y.

   xi lnyi 0 -1.61 1 -1,11 2 -0.62 3 -0.11 4 0.39 5 0.89

2. Coefficiente di correlazione lineare.

Gli esempi proposti mostrano come, data una serie di coppie di valori (x,y), da questa serie si possono ricavare altre coppie (x',y') che, rappresentate nel piano cartesiano Oxy, risultano allineate fornendo un buon argomento per congetturare la proporzionalità diretta tra y' e x'.

Il grado di allineamento di una serie di coppie è misurato dal loro coefficiente di correlazione lineare ρ_x,y.

Questo coefficiente può variare da 0 a 1: valori prossimi a 0 indicano scarso allineamento; valori prossimi a 1 indicano buon allineamento; 1 indica allineamento perfetto, come si vedrà nell'esempio che sarà proposto.

Dette x la variabile indipendente e y la variabile dipendente, per calcolare questo coefficiente, bisogna prima calcolare la loro covarianza σ_x,y, cioè la differenza tra la media dei loro prodotti e il prodotto delle loro medie.

La sopralineatura di una variabile rappresenta la sua media.

Ad esempio, nel primo dei casi teorici precedenti si ottiene

Si calcolano quindi le deviazioni standard σ_x e σ_y dei valori assunti da x e y

La deviazione standard di una popolazione x è definita da

Nell'esempio si ha

Il coefficiente di correlazione linear ρ_x,y è dato dal rapporto tra la covarianza e il prodotto delle deviazioni standard:

Nell'esempio si ha

come ci si doveva attendere, in quanto i dati della tabella usata come esempio, graficati nel piano cartesiano Oxy, sono perfettamente allineati.

Se però si modificano anche leggermente i dati della tabella usata, ρ_x,y risulterà minore di 1.

In questa pagina è disponibile una applicazione Javascript per il calcolo di ρ_x,y per una serie di coppie di dati. Può, ad esempio, essere usata per calcolare ρ_x,y per le tabelle proposte negli esempi.

3. La retta dei minimi quadrati.

Se il coefficiente ρ_x,y di una serie di coppie (x,y) risulta prossimo a 1, si può ricavare dalla serie l'equazione di una retta r interpolatrice di equazione y=mx+p, determinata in modo che, detta d_i la differenza tra l'ordinata y_i tabulata e l'ordinata Y_i corrispondente a x_i sulla retta r, la somma Q dei quadrati d_i² risulti minima.

Si ha

Per minimizzare Q si azzerano le sue derivate parziali rispetto a m e rispetto a p.

Dalla (2) si ottiene

Dalla (1) si ottiene

Nella (4) il numeratore è la covarianza di x, cioè σ_x,y; il denominatore è il quadrato della sua deviazione standard σ²_x,y.

4. Congetture e confutazioni.

Un'equazione matematica dedotta da un complesso di dati sperimentali con il metodo illustrato nei punti precedenti è una legge scientifica.

Ma ciò significa solo che equazioni non dedotte con questo metodo non sono scientifiche. Non significa invece che una legge scientifica deva essere assunta come verità definitiva che, una volta formulata, chiude un capitolo della ricerca scientifica e, in ultima analisi, della conoscenza umana, come ad esempio, ritenevano i filosofi positivisti del XIX secolo.

Innanzitutto va tenuto presente che il complesso dei dati sperimentali da cui viene ricavata è inevitabilmente finito, mentre ad una legge scientifica si attribuisce una validità universale per cui può essere applicata a situazioni che non sono mai state sperimentate; le estrapolazioni fatte estendendo la sua validità al di fuori di questo complesso sono metodologicamente scorrette.

Ma non si può escludere a priori che una futura misura, fatta in condizioni sperimentali più raffinate si discosti più o meno gravemente dal valore previsto dalla legge.

Ad esempio, sebbene la teoria della relatività preveda che nessuna particella possa raggiungere e tantomeno superare la velocità della luce e questa legge nel corso di un secolo non fosse mai stata smentita, nel 2011, un gruppo di fisici comunicò che per fasci di neutrini spediti dai laboratori del CERN a quelli del Gran Sasso, si erano misurate velocità superiori. Questa comunicazione non destò scandalo o esecrazioni dei fisici eretici; semplicemente indusse altri fisici a verificare autonomamente le misure per controllare la presenza di eventuali manchevolezze nella strumentazione o nei metodi di misura, pronti eventualmente a rivedere le teorie comunemente accettate se le misure fossero risultate ineccepibili.

Quindi una legge scientifica, pur corroborata da una solida base di dati sperimentali e che per il passato non è mai stata violata, è pur sempre una congettura, la migliore finora possibile. Ma basterà che anche una sola delle sue previsioni non risulti confermata da una verifica sperimentale perché essa sia falsificata e deva essere rigettata o quantomeno significativamente modificata. Questo è in estrema sintesi l'essenza delle considerazioni epistemologiche proposte da K. Popper.

Per Popper, la falsificabilità è un requisito indispensabile di una teoria scientifica. Teorie che non prevedano esperimenti cruciali capaci di confutarne le previsioni, non sono scienza.

Ad esempio, l'astrologia, ma anche il marxismo e la psicoanalisi, proprio perché da una o più premesse non prevedono una unica precisa conseguenza, per Popper non sono teorie scientifiche.

5. Calcolatrice.