(note a cura di Roberto Bigoni)
Un corpo esteso di massa m sospeso ad un punto fisso O1 nel campo di accelerazione costante terrestre g si trova in equilibrio quando il momento della forza peso P=mg applicata al baricentro G del corpo rispetto al vincolo O1 è nullo, cioè quando O1 e G sono sulla stessa verticale. L'equilibrio è stabile quando G si trova sotto O1.
Se il corpo è scostato dalla posizione di equilibrio stabile di un angolo θ l'intensità del momento della forza risulta
dove con d1 si indica la distanza tra O1 e G. Il segno negativo indica che se l'angolo θ è positivo (antiorario) il momento è negativo, cioè induce una rotazione oraria e viceversa.
Per angoli sufficientemente piccoli il seno è ben approssimato dall'angolo e si può quindi dire
Il momento della forza è la derivata del momento angolare. Indicando con I1 il momento d'inerzia del corpo rispetto all'asse di rotazione passante per O1 e perpendicolare al piano di rotazione si ha
Uguagliando i secondi membri delle (1.2) e (1.3) si ottiene
La (1.4) mostra che la derivata seconda dell'angolo rispetto al tempo è proporzionale all'opposto dell'angolo stesso. Ciò sta ad indicare che (per piccoli spostamenti iniziali) il moto del pendolo è di tipo armonico con pulsazione ω1 data da
Rovesciando il corpo ed appendendolo a un punto O2 allineato con O1 e G, distante d2 da G, e lasciandolo oscillare, si ottiene una pulsazione ω2
Per definizione la pulsazione ω di un moto armonico è inversamente proporzionale al periodo T
Il pendolo reversibile (di Kater: 1817) è costituito da una sbarra metallica rigida sulla quale sono incernierate due massicci dischi M1 e M2 che possono scorrere lungo la sbarra ed essere fissati in posizioni diverse in modo da mutare la posizione del baricentro del pendolo. Il pendolo è inoltre fornito di coltelli cuneiformi O1 e O2 che permettono di appoggiare il pendolo sull'apposita sede di un supporto rigido verticale e di farlo oscillare sia attorno al punto di appoggio di O1 sia attorno al punto di appoggio di O2.
Collocando opportunamente le masse M1 e M2 è possibile fare in modo che il periodo T1 delle oscillazioni del pendolo quando è appoggiato ad O1 risulti uguale al periodo T2 delle oscillazioni che si ottengono rovesciando il pendolo e appoggiandolo ad O2.
In questo caso sono uguali anche le pulsazioni, quindi uguagliando le (1.5) e (1.6) si ha
e, semplificando,
Per il teorema degli assi paralleli (Huygens-Steiner)
Sostituendo le (2.3) nella (2.2)
Risolvendo l'equazione (2.4) nell'incognita IG si ottiene
Sostituendo questa espressione di IG nella prima delle (2.3) si ha
e, utilizzando questa espressione di I1 nella (1.5),
Indicando con d la distanza d1+d2 tra i due coltelli e ricordando la relazione (1.7) tra periodo e pulsazione si ottiene infine
(Nella notazione e nella semplificazione si è implicitamente assunto che la massa gravitazionale che compare nell'espressione del peso e la massa inerziale che compare nell'espressione del momento d'inerzia coincidano: la cosa meriterebbe un approfondimento...)
Questa relazione coincide con quella valida per il pendolo semplice, quando alla lunghezza l del pendolo semplice si sostituisca la distanza d tra i coltelli del pendolo di Kater e al periodo di oscillazione T del pendolo semplice si sostituisca il periodo T per il quale il pendolo di Kater è reversibile, cioè il valore del periodo comune alla oscillazioni sui due coltelli O1 e O2.
Rilevando sperimentalmente le misure di d e di T dalla (2.9) è possibile ricavare la misura di g.
Elevando al quadrato entrambi i membri si ha
e quindi
Misurando con la massima precisione possibile d e T è possibile ricavare con buona precisione il valore di g del luogo nel quale si esegue la misura.
Si ricorda che data la differenza tra raggio equatoriale e raggio polare della Terra e della forza centrifuga dovuta alla rotazione diurna la g, a livello del mare, decresce dai poli all'equatore in funzione della latitudine.
Secondo lo Handbook of the American Institute of Physics una formula empirica di g in funzione della latitudine φ è
Dalla (2.10) l'incertezza relativa sulla misura di g risulta
Per ottenere una buona misura bisogna che d e T siano abbastanza grandi e che le incertezze assolute sulle misure di d e di T siano ridotte al minimo. Per potere apprezzare la terza cifra decimale di g bisogna che l'errore relativo sia dell'ordine di 10-3.
Se d è dell'ordine del metro bisogna quindi che Δd sia dell'ordine del millimetro; se T è dell'ordine del secondo bisogna che ΔT sia dell'ordine del millesimo di secondo. Se si dispone di un cronometro manuale al centesimo di secondo si possono misurare 10 periodi e quindi dividere per 10 la misura e l'incertezza.
La misura di T è la più laboriosa per la difficoltà pratica di individuare una collocazione delle masse M1 e M2 tale per cui, capovolgendo il pendolo, il periodo rimanga invariato.
A questo scopo conviene fissare inizialmente la posizione di M1 e spostare di volta in volta la posizione di M2, cominciando dall'estremità inferiore della barra e avvicinandola gradualmente a M1, ad esempio a 10 cm alla volta. Per ogni posizione di M2 si misurano T1 e T2 compilando una tabella del seguente tipo
| M2 (cm) | T1 (sec) | T2 (sec) |
|---|---|---|
| 10 | ||
| 20 | ||
| 30 | ||
| 40 | ||
| 50 | ||
| 60 | ||
| 70 | ||
| 80 | ||
| 90 |
Si disegna poi un grafico mettendo in ascissa i valori delle posizioni di M2 e in ordinata i valori di T1 e T2 in base ai quali disegnare due curve la cui intersezione permette di valutare il valore T da usare nelle (2.10) e (3.1).
Per rendere più precisa la valutazione di T si possono infittire le misure nei dintorni del punto di intersezione, ad esempio spostando M2 di 5 cm alla volta o anche meno, e interpolare i dati con le rette dei minimi quadrati.
ultima revisione: Giugno 2020