7. Distanza di un punto da una retta


Il problema è banale se la retta è parallela ad uno degli assi cartesiani: si tratta di calcolare il valore assoluto della differenza o tra l'ordinata del punto e l'ordinata comune a tutti i punti della retta se la retta è parallela all'asse delle ascisse o tra l'ascissa del punto e l'ascissa comune a tutti i punti della retta se la retta è parallela all'asse delle ordinate.

Se invece la retta non è parallela a nessuno degli assi e non passa nell'origine, la sua equazione è esprimibile nella forma

Eqn001.gif

con a, b e c tutti non nulli ed interseca gli assi rispettivamente nei punti

Eqn002.gif

fig001.gif

Considerato un punto A(xA;yA), la sua distanza dalla retta coincide con l'altezza AH del triangolo PAQ rispetto alla base PQ e può quindi essere ottenuta dividendo il doppio dell'area di tale triangolo per la misura della base PQ.

Ricordando l'espressione (2.3) dell'area di un triangolo date le coordinate dei suoi vertici e servendosi del teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo OPQ si ottiene

Eqn003.gif

e in definitiva

Eqn004.gif

Rimane da considerare il caso in cui la retta passi per l'origine: in questo caso l'equazione della retta può essere espressa nella forma

Eqn005.gif

Scegliendo sulla retta il punto S di ascissa uguale a 1, si ha

fig002.gif

Eqn006.gif

e la distanza AH del punto A dalla retta si ottiene dividendo il doppio dell'area del triangolo OSA per la distanza di S dall'origine

Eqn007.gif

Come si vede la relazione ottenuta non è che un caso particolare della (7.3) con c=0.

La (7.3) può essere applicata per il calcolo delle equazioni delle bisettrici degli angoli formati da due rette incidenti. La bisettrice di un angolo è infatti il luogo dei punti equidistanti dai lati. Allora, se x e y sono le coordinate di un generico punto della bisettrice, e le equazioni di due rette, supposte incidenti, sono

Eqn008.gif

si ha

Eqn009.gif

La (7.6) equivale a due equazioni in valore relativo. In effetti, due rette incidenti formano quattro angoli, a due a due opposti al vertice e quindi con bisettrici comuni. Inoltre, dato che le bisettrici di angoli adiacenti sono perpendicolari, le due equazioni devono avere coefficienti angolari antireciproci.

La seguente applicazione Javascript calcola la distanza di un punto da una retta, rappresenta graficamente la retta e il segmento di distanza dal punto alla retta.
I valori in input possono interi, razionali rappresentati da frazioni, irrazionali in notazione decimale o espressi da costanti o funzioni (es. P, E, Sqrt[2], Sin(P/10), ecc.) e anche da espressioni.
L'applicazione funziona completamente solo se il browser in uso permette i pop-up.