SuperCalcolatrice

SuperCalcolatrice permette di eseguire calcoli su interi, razionali e reali in precisione arbitraria.

SuperCalcolatrice richiede JRE 1.6.0

In particolare, il calcolo sugli interi e sui razionali rappresentati con frazioni è sempre esatto. I numeri razionali possono essere immessi anche come decimali periodici. In questo caso il periodo va posto tra segni di paragrafo (§). Esempio: 1.2§34§.

Se il calcolo coinvolge numeri reali, i risultati possono essere approssimati al numero predeterminato di decimali impostato nel campo decimali.

Ovviamente, se si imposta questo valore ad un numero molto alto, i tempi di calcolo possono diventare intollerabili.

Il separatore decimale per i numeri reali è il punto.

I reali possono essere immessi anche in forma esponenziale. Esempio: 1.234e5.

I reali trascendenti π, e (n. di Nepero) e γ (di Eulero) sono prodotti con l'approssimazione prestabilita scrivendo PI, E e GAMMA.

Si possono memorizzare altre costanti assegnando il loro valore ad opportuni identificatori.

Si possono dichiarare matrici e vettori e operare su di essi. Vettori e matrici vanno scritte in linea usando le parentesi graffa. La scrittura di questi oggetti è facilitato da un'apposita funzione dell'interfaccia utente.

Matrici quadrate invertibili e vettori di ugual dimensione possono essere combinati per ottenere la soluzione di un sistema lineare.

Si possono dichiarare funzioni di una o più variabili reali assegnando la loro espressione ad opportuni identificatori.

Si possono ottenere i grafici delle funzioni dichiarate.

Input e output

Nel campo input possono essere impostate espressioni da calcolare immediatamente, scrivendole in linea con le usuali convenzioni per le operazioni e attivando il bottone esegui.

Nel campo di input si possono dichiarare funzioni da usare in calcoli successivi e si può assegnare un valore ad una costante. in questi due casi l'attivazione del bottone esegui non produce un risultato esplicito, ma solo la memorizzazione della funzione o della costante.

Ad ogni attivazione del bottone esegui si ottiene nel campo output la ripetizione dell'espressione immessa seguita dal risultato prodotto. Input e output sono numerati in modo da poterli richiamare con i comandi In e Out.

Le espressioni immediate e le dichiarazioni di costante e di funzione possono contenere i seguenti segni di operazione:

segni di operazione
+	addizione
-	sottrazione
*	moltiplicazione (anche spazio vuoto)
/	divisione reale
^	potenza

I seguenti segni di operazione agiscono solo su operandi interi.

operazioni su interi
:	divisione tra interi
%	resto nella divisione tra interi
!	fattoriale
&	and
\|	or
#	xor

L'ordine di esecuzione dei calcoli in un'espressione è indicato dalle parentesi tonde eventualmente annidate.

Nelle espressioni si possono usare le seguenti funzioni che richiedono un solo argomento reale costante (eccezionalmente 2 per radici e logaritmi).

funzioni con un argomento reale
funzione	nome	esempio
Abs[x]	val. assoluto	Abs[f[2.5]]
V[x]	radice quadrata	V[PI]
V[x,n]	radice n-esima (n naturale ≥ 2)	V[PI,3]
Sin[x]	seno circolare	Sin[PI/2]
Cos[x]	coseno circolare	Cos[PI/4]
Tan[x]	tangente circolare	Tan[PI/4]
ArcSin[x]	arcoseno circolare	ArcSin[1/2]
ArcCos[x]	arcocoseno circolare	ArcCos[1/2]
ArcTan[x]	arcotangente circolare	ArcTan[V[3]/2]
Exp[x]	esponenziale naturale	Exp[-2]
Log[x]	logaritmo naturale	Log[E^2]
Log[x,y]	logaritmo in base y	Log[10,2]
Sinh[x]	seno iperbolico	Sinh[1]
Cosh[x]	coseno iperbolico	Cosh[2.5]
Tanh[x]	tangente iperbolica	Tanh[100]
ArcSinh[x]	arcoseno iperbolico	ArcSinh[1]
ArcCosh[x]	arcocoseno iperbolico	ArcCosh[PI]
ArcTanh[x]	arcotangente iperbolica	ArcTanh[1/2]
Zeta[x]	zeta di Riemann	Zeta[-2]
Gauss[x]	Gaussiana normalizzata	Gauss[1]
Gauss[x,s]	Gaussiana con dev. standard s	Gauss[1,2]
Erf[x]	Error function	Erf[1]
Phi[x1,x2]	Probabilità gaussiana	Phi[-1,1]
FP[x]	Esprime l'argomento in notazione scientifica (floating point)	FP[1234.567]

Notare che la funzione FP produce una stringa e quindi non può essere usata nelle espressioni su numeri.

Queste funzioni non sono graficabili direttamente. Per ottenere il loro grafico è necessario dichiarare una funzione in cui esse compaiano a secondo membro della dichiarazione.

Sono inoltre disponibili i seguenti operatori agiscono su un numero reale.

operatori sui numeri reali decimali
operatore	effetto	esempio
GRad[x]	da gradi decimali a radianti	GRad[60]
RadG[x]	da radianti a gradi decimali	RadG[PI/3]
DecDms[x]	da notazione decimale a sessagesimale	DecDms[RadG[1]]
Int[x]	parte intera	Int[PI]
Frac[x]	parte decimale	Frac[PI]

Sono inoltre disponibili i seguenti operatori agiscono su numeri in notazione sessagesimale.

operatori su numeri sessagesimali
operatore	effetto	esempio
DmsDec[x]	da sessagesimali a decimali	DmsDec[15°18'25.567"]
DistanzaTerresteKM[la1,lo1,la2,lo2]	distanza tra due punti sulla terra in km	DistanzaTerrestreKM[0°,0°,0°,1']
DistanzaTerresteMN[la1,lo1,la2,lo2]	distanza tra due punti sulla terra in miglia nautiche	DistanzaTerrestreMN[0°,0°,0°,1']

Le funzioni per il calcolo delle distanze tra due punti sulla superficie terrestre richiedono quattro argomenti in notazione sessagesimale (gradi, primi, secondi) nel seguente ordine:

latitudine e longitudine della prima località;
latitudine e longitudine della seconda località;

Le latitudini SUD e le longitudini OVEST sono indicate dal segno negativo.

La distanza è in linea d'aria, ignorando la quota delle località.

Il calcolo della distanza è fatto su un geoide teorico con il metodo di Vincenty, suggerito da una pagina di Chris Veness.

Le funzioni circolari (Sin, Cos, Tan) possono avere l'argomento in notazione sessagesimale. Le funzioni circolari inverse (ArcSin, ArcCos, ArcTan) restituiscono un valore reale (in radianti). Per ottenere il corrispondente valore in gradi sessagesimali occorrono due conversioni: prima da radianti a gradi decimali, poi da gradi decimali a gradi sessagesimali. Le notazioni sessagesimali sono comunque stringhe e non possono essere usate nei calcoli.

L'operatore SolTr permette di risolvere un triangolo dati tre dei suoi elementi che non siano tutti angoli

risoluzione di un triangolo
operatore	effetto	esempio
SolTr[a,b,c,α,β,γ]	risoluzione di un triangolo	SolTr[1,1,0,PI/6,0,0]
		SolTr[10,0,0,24°18'53",0°,38°12'23.45"]

I primi tre elementi sono i lati, gli ultimi tre gli angoli ordinatamente opposti. In input gli elementi ignoti sono rappresentati da zeri. Se i valori degli angoli in input sono espressi da numeri reali, il calcolo è in radianti; se invece tali valori sono espressi in notazione sessagesimale, anche i risultati sono in notazione sessagesimale.

Per i calcoli statistici si possono usare seguenti operatori che agiscono su su vettori di numeri reali.

operatori su una lista numeri reali
operatore	effetto	esempio
Media[vettore]	media aritmetica	Media[PI,E,V[2]]
DevStdC[vettore]	deviazione standard campionaria	DevStdC[PI,E,V[2]]
DevStdP[vettore]	deviazione standard della popolazione	DevStdP[PI,E,V[2]]

La lista può essere rappresentata da una costante precedentemente dichiarata. Ad esempio:

dati := 12,14,13,15,11,12,12,14
Media[dati]

I seguenti operatori producono la rappresentazione decimale di un razionale o viceversa.

operatori sui numeri razionali
operatore	effetto	esempio
N	da razionale a decimale	N[2/3]
N	da razionale a decimale	N[1.2§3§]

I seguenti operatori agiscono su uno o più numeri naturali.

operatori sui numeri naturali
operatore	effetto	esempio
Mcd[vettore di interi]	massimo comun divisore	Mcd[123456,234567,345678]
Mcm[vettore di interi]	minimo comune multiplo	Mcm[123,234,345]
EPrimo[n]	vero o falso se l'argomento è primo o no	EPrimo[1234567]
FPrimi[n]	scomposizione in fattori primi di un naturale	FPrimi[1234567]
Primo[n]	n-esimo numero primo	Primo[12]
CB[m,n]	coefficiente binomiale	CB[100,37]
Base[numero,base]	cambio di base dalla notazione di un naturale in base dieci	Base[1234,16]
Fib[n]	n-esimo numero della successione di Fibonacci	Fib[1234]
Bernoulli[n]	n-esimo numero di Bernoulli	Bernoulli[13]
Hn[n]	somma di n numeri armonici	Hn[100]
Hn[n,p]	somma di n numeri armonici a potenza p	Hn[100,2]

I seguenti operatori agiscono su una o più funzioni e sulla loro rappresentazione grafica. Il numero di punti da calcolare e i valori massimi e minimi graficabili vanno impostati negli appositi campi prima di attivare l'operatore.

operatori per le funzioni
operatore	effetto	esempio
Tabella	produzione della tabella di una funzione in un intervallo dato	Tabella[f,0,2PI]
Zeri	approssimazione degli zeri di una funzione in un intervallo dato	Zeri[f,-5,5]
Grafico	disegno del grafico di una funzione in un intervallo dato	Grafico[f,-5,5]
Grafico	disegno del grafico di più funzioni in un intervallo dato	Grafico[{f,g},-5,5]
Studio	studio dei punti rilevanti di una funzione in un intervallo dato	Studio[f,-5,5]

I seguenti operatori agiscono su uno o più vettori.

operatori per i vettori
operatore	effetto	esempio
*	prodotto scalare	v1*v2
**	prodotto vettoriale	v1**v2
Modulo	modulo (o intensità) del vettore	Modulo[v]
Anomalia	anomalia (o fase) del vettore	Anomalia[v]
Versore	versore del vettore	Versore[v]

Il prodotto vettoriale è possibile solo su vettori bidimensionali o tridimensionali.

I vettori possono essere moltiplicati o divisi per scalari. Se di uguale dimensione, possono essere sommati o sottratti.

Si possono estrarre le componenti dei vettori.

Esempi.

v1:={1,2,3}
v2:={1,-1,3}
v1*v2
v1**v2
3*v1-4*v2[m1]
v1[0]+v1[1]

I seguenti operatori agiscono su una o più matrici.

operatori per le matrici
operatore	effetto	esempio
Det	calcolo del determinante	Det[matr]
Traccia	calcola la traccia della matrice	Traccia[matr]
Trasposta	calcola la matrice trasposta	Trasposta[matr]
Inversa	calcola la matrice inversa	Inversa[matr]
AutoValori	calcola gli autovalori di una matrice simmetrica	AutoValori[matr]
AutoVettori	calcola gli autovettori di una matrice simmetrica	AutoVettori[matr]
SolSisLin	risolve un sistema lineare	SolSisLin[matrice,vettore]

Questi operatori agiscono solo su matrici quadrate. In particolare il calcolo di autovalori e autovettori opera solo su matrici quadrate simmetriche.

Con i normali segni di operazione si possono eseguire somme e sottrazioni di matrici di uguali dimensioni.

Le matrici quadrate di uguale ordine possono essere moltiplicate o divise tra di loro o elevate a potenza intera.

Si può calcolare il prodotto di una matrice quadrata per un vettore di uguale dimensione.

Si possono estrarre gli elementi di una matrice: un solo indice estrae una riga, due indice estraggono un elemento.

Esempi.

m1:={1,2,3}{2,3,4}{3,4,1}
Inversa[m1]
m1^2
m2:={5,2,1}{1,-1,3}{-1/2,0,1}
m1*m2
AutoValori[m1]
AutoVettori[m1]
m1[0]+m1[1]
m1[0][2]^2

I seguenti operatori eseguono calcoli di interesse finanziario.

calcoli finanziari
operatore	effetto	esempio
RataMutuo	dato mutuo, interesse annuo, durata e periodicità calcola la rata costante posticipata	RataMutuo[100000,4,10,12]
TassoMutuo	dato mutuo, rata, durata, periodicità, calcola l'interesse annuo	TassoMutuo[100000,1250,10,12]
Ammortamento	dato mutuo, interesse annuo, durata e periodicità calcola il piano d'ammortamento	Ammortamento[100000,4,10,12]

I seguenti operatori riportano i valori immessi e prodotti.

operatori su input e output
operatore	effetto	esempio
In	riprende uno dei valori immessi	In[4]
Out	riprende uno dei valori prodotti	Out[4]

I seguenti operatori forniscono informazioni sul calendario.

calendario
operatore	effetto	esempio
Oggi	la data odierna	Oggi[]
Ora	l'orario attuale	Ora[]
GS	giorno della settimana dati anno, mese e giorno del mese	GS[1900,1,1]
Pasqua	calcola la data della Pasqua dell'anno indicato (dal 1583 DC)	Pasqua[2007]

Espressioni matematiche

Le espressioni in input vanno scritte in linea usando la tastiera. Possono contenere numeri immediati o rappresentati da costanti, segni di operazione funzioni predefinite o funzioni dichiarate, in entrambi i casi con argomento costante, segni di operazione e parentesi tonde eventualmente annidate e ben bilanciate.

Esempi.

PI*8^2
(2+3)/4
(Sin[PI/3])^2
f1[2]+f2[Log[2]]
((10!/9!)+2)/5

Uso delle parentesi

Le parentesi si usano nel seguente modo:

tonde : nelle espressioni eventualmente annidate, per l'ordine dei calcoli
quadre : per contenere gli argomenti delle funzioni o selezionare un elemento di un vettore o di una matrice.
graffe : per contenere liste, vettori e matrici; gli elementi di una lista sono separati da virgola

Memorizzazione di costanti

Per memorizzare una costante se ne scrive il nome seguito da := (come in Pascal) e dal valore attribuito. Il valore può essere un intero, un razionale espresso come frazione o un decimale in virgola fissa o in virgola mobile o una qualunque espressione contenente valori diretti, altre costanti o funzioni.

Esempi.

a := 12
b := 1/2
cgrav := 6.67e-11
ln2mezzi := Log[2]/2
dati := {2,2,3,3,4,4,4,4,5,5,5,4,4,3,2,1}
matrice := {{2,2,3,3},{4,4,4,4},{5,5,5,4},{4,3,2,1}}
(funziona anche matrice := {2,2,3,3}{4,4,4,4}{5,5,5,4}{4,3,2,1})

Se si definisce una nuova costante assegnandole un identificatore usato per una costante precedente, il valore precedente viene sostituito dal nuovo.

Dichiarazione di funzioni

Per dichiarare una funzione di una o più variabili reali, se ne scrive il nome seguito una coppia di parentesi quadre contenenti uno o più identificatori degli argomenti, da := (come in Pascal) e dall'espressione della funzione in cui ricompaiono gli identificatori degli argomenti.

Esempi.

f[x] := x^2-1
f1[x] := Sin[2x]+2Cos[x]
f2[x,y] := V[x^2+y^2]

Si possono inoltre definire funzioni parametriche definendo una funzione di una unica variabile reale espressa da una lista di espressioni.

Esempio.

f[x] := {Cos[x],2Sin[x/2]}
f1[x] := {x^2,Sin[x],Cos[x]}

Una volta dichiarate, le funzioni esplicite di una variabile possono essere oggetto di varie operazioni:

Ricerca degli zeri. Si una l'operatore Zeri con tre argomenti: il nome della funzione, l'inizio dell'intervallo di ricerca e la fine dell'intervallo di ricerca. L'operazione può avere successo solo se i valori della funzione agli estremi dell'intervallo sono opposti.
Ricerca dei punti salienti (zeri, estremi, flessi). Si usa l'operatore Studio con tre argomenti: il nome della funzione, l'inizio dell'intervallo di analisi e la fine dell'intervallo di analisi.
Produzione di un grafico. Si una l'operatore Grafico con tre argomenti: il nome della funzione, l'inizio dell'intervallo di ricerca e la fine dell'intervallo di ricerca.

In numero di punti calcolati per la costruzione del grafico va immesso nel campo n. punti.

Grafici di funzioni

È possibile realizzare il grafico di una funzione solo dopo averla dichiarata esplicitamente assegnandole un appropriato identificatore. Non è cioè possibile ottenere direttamente il grafico delle funzioni di libreria.

Ad esempio, se si vuole il grafico del seno circolare, bisogna dichiarare una funzione seno[x] := Sin[x] e quindi usare il comando Grafico nel seguente modo: Grafico[seno,-2PI,2PI].

Si possono graficare contemporaneamente più funzioni.

Ad esempio, definendo anche coseno[x] := Cos[x], si possono graficare contemporaneamente seno e coseno con il comando Grafico[{seno,coseno},-2PI,2PI].

È possibile ottenere il grafico di funzioni parametriche piane. Ad esempio dopo aver dichiarato f[x]:={Cos[x],Sin[x]}, con il comando Grafico[f,0,2PI] si ottiene una circonferenza di raggio 1.

ultimo aggiornamento: 18/11/2007