9. Autovalori e autovettori.

Dato un operatore lineare L definito sullo spazio vettoriale V, è spesso utile determinare l'insieme dei vettori di V per i quali l'applicazione dell'operatore equivale alla moltiplicazione per uno scalare.

I vettori di questo insieme sono detti autovettori (inglese: eigenvectors) li e gli scalari corrispondenti sono detti autovalori (inglese: eigenvalues) λi dell'operatore lineare L.

Per determinare autovettori e autovalori è necessario risolvere la seguente equazione (escludendo autovettori nulli) detta equazione agli autovalori

Eqn901.gif

Questa equazione è equivalente a

Eqn902.gif

L'ultima equazione permette di calcolare gli autovalori λi e risulta in generale piuttosto impegnativa perché, sviluppata algebricamente, risulta di n-esimo grado e quindi, anche nel caso di matrici reali, può ammettere radici complesse.

La situazione più semplice si ha quando una matrice è diagonale, cioè quando gli unici elementi non nulli sono quelli con indici uguali. In questo caso l'equazione equivale all'annulamento di un prodotto di binomi Eqn903.gif con l'ovvio insieme di soluzioni Eqn904.gif.

Ogni autovalore li deve quindi verificare l'uguaglianza

Eqn905.gif

Ciò è possibile solo se l'autovettore li ha tutte le componenti nulle tranne la i-esima.

Esempio.

Data la matrice diagonale Eqn906.gif, si ha Eqn907.gif cioè Eqn908.gif con soluzione Eqn909.gif.

L'autovettore |d1>, corrispondente all'autovalore δ1=a, si ottiene dall'equazione Eqn910.gif, cioè Eqn911.gif, vera per qualunque x se y=0. Il calcolo quindi non individua un preciso vettore, ma l'insieme di tutti i vettori giacenti sull'asse delle ascisse. In sostanza individua univocamente solo il versore dell'autovettore. È quindi sufficiente limitarsi al calcolo di questi versori che saranno denominati autovalori normalizzati. Nell'esempio proposto si assume quindi Eqn912.gif.

Con un calcolo analogo relativo all'autovettore |d2>, corrispondente all'autovalore δ2=2, si ottiene Eqn913.gif.

|d1> e |d2> sono i versori degli assi cartesiani.

Le conclusioni ottenute nell'esempio si possono generalizzare a matrici diagonali n-dimensionali. Quindi, in generale,

Dall'equazione agli autovalori si deduce che, data la matrice L, una matrice M e la sua inversa M-1, la matrice M-1LM ha gli stessi autovalori di L. Infatti

Eqn914.gif

Questo è vero in particolare per le rotazioni.

Se la matrice sottoposta alle rotazioni è una matrice reale diagonale, la matrice trasformata S è simmetrica, tale cioè che, per i≠j, Si,j=Sj,i. Infatti, limitandosi per semplicità al caso bidimensionale, si ha

Eqn915.gif

Viceversa, con una rotazione opposta si può ottenere da una matrice simmetrica una matrice diagonale.

Infatti, data la matrice Eqn928.gif, per individuare la rotazione che la diagonalizza, si pone

Eqn929.gif

Sottraendo membro a membro la seconda equazione dalla terza si ha

Eqn930.gif

Da questa equazione e dalla prima delle tre consegue

Eqn931.gif

Quindi per diagonalizzare la matrice S, bisogna ruotare il sistema di un angolo -θ.

Questo metodo può essere esteso a matrici simmetriche di qualunque ordine. Quindi si può concludere che le matrici reali simmetriche ammettono autovalori tutti reali.

Esempio.

Calcolo di autovalori e autovettori della matrice simmetrica Eqn916.gif.

Equazione agli autovalori: Eqn917.gif. Sviluppando il determinante si ha

Eqn918.gif

Gli autovalori sono σ1=4 e σ2=8. Per calcolare gli autovettori normalizzati corrispondenti bisogna risolvere le equazioni Eqn919.gif assumendo che i vettori |si> abbiano modulo 1, cioè che possano essere espressi come Eqn920.gif con Eqn922.gif.

Per il primo autovalore si ha

Eqn923.gif

Quindi Eqn924.gif.

Per il secondo autovalore si ha

Eqn925.gif

Quindi Eqn926.gif.

Gli autovettori risultano ortogonali.

 

Con una rotazione la matrice S dell'esempio può essere trasformata nella matrice diagonale con uguali autovalori Eqn927.gif. L'angolo di rotazione deve essere tale da far coincidere gli autovalori normalizzati di S con i versori degli assi cartesiani. Nel caso proposto l'angolo è evidentemente π/6.

Calcolo di autovalori con WolframAlpha

WA1.gif