8. Trasformazioni affini (o affinità).

Dato che traslazioni e trasformazioni lineari invertibili determinano corrispondenze biunivoche tra i punti di ℜ2, anche la composizione di una trasformazione lineare invertibile con una traslazione determina una corrispondenza biunivoca in ℜ2.

La composizione di una trasformazione lineare invertibile con una traslazione è detta trasformazione affine o affinità.

Una affinità può essere espressa algebricamente nel seguente modo

Eqn801.gif

Si indica così che il vettore v'(x’;y’) biunivocamente corrispondente al vettore v(x;y) si ottiene moltiplicando prima la matrice Eqn815.gif per il vettore v e sottoponendo poi il risultato alla traslazione τ(c;c’).

Esprimendo l'affinità in notazione matriciale si ha

Eqn802.gif

L'affinità inversa esprime v in funzione di v’. Si ottiene

Eqn803.gif

Le affinità mantengono tutte le proprietà delle trasformazioni lineari traslandone il centro.

Esempi.

 

Sia data l'affinità

Eqn804.gif

Questa affinità è data dalla composizione della trasformazione lineare Eqn805.gif con la traslazione Eqn806.gif

Si ha Δ = - 3 e la matrice inversa risulta Eqn807.gif

Si può quindi dire

Eqn808.gif

Tornando alla forma algebrica

Eqn809.gif

 

Data una trasformazione T si dicono punti uniti di T i vettori che corrispondono a sé stessi.

Un punto unito u di una affinità determinata da L e τ si determina risolvendo l'equazione

Eqn810.gif

cioè

Eqn811.gif

Nell'esempio proposto si ha

Eqn812.gif

La matrice inversa di (L-I) risulta

Eqn813.gif

Moltiplicando l'opposto della matrice inversa per τ si ottiene l'elemento unito

Eqn814.gif