11. Sviluppo in serie di Fourier.

Nel paragrafo precedente si è visto come una funzione φ_n dello spazio vettoriale Φ_n può essere espressa come

Le funzioni di Φ_n (definite nell'intervallo [-π;π]) hanno le seguenti proprietà:

• il loro valore medio integrale è nullo;
• sono continue e derivabili in [-π;π].

Se il valore di n è finito, Φ_n non comprende tutte le possibili funzioni con queste caratteristiche. Si può però congetturare che, all'aumentare di n, l'insieme Φ_n tenda a coincidere con l'insieme Φ di tutte le funzioni periodiche φ(x) di periodo 2π, continue, derivabili e di valor medio nullo in [-π;π], cioè che

con

La congettura può essere generalizzata ed applicarsi all'insieme P di tutte le funzioni (reali di variabile reale) periodiche p(x) di periodo 2π, continue, derivabili e di valor medio ottenendo

Quest'ultima relazione, ideata da J. Fourier, è oggi nota come sviluppo in serie di Fourier ed è stata teoricamente convalidata dal lavoro di numerosi matematici dell'Ottocento e del Novecento, che ne hanno dimostrato l'applicabilità anche a classi di funzioni periodiche sottoposte a condizioni meno restrittive di quelle qui proposte.

Questo sviluppo in serie può essere facilmente adattato a funzioni periodiche di periodo qualunque 2L con la sostituzione di variabile desumibile dalla proporzione .

Se un funzione p(x) è dispari, tutti i coefficienti a_k sono nulli e sono da calcolare esplicitamente solo i coefficienti b_k.

Se un funzione p(x) è pari, tutti i coefficienti b_k sono nulli e sono da calcolare esplicitamente solo i coefficienti a_k.

Lo sviluppo di un polinomio si ottiene sommando gli sviluppi dei suoi monomi.