Sulla base dei risultati ottenuti nella sezione precedente si ha
Usando la (3.9) per esprimere la cotangente iperbolica, si ottiene
Se si scrivono esplicitamente alcuni addendi della somma si ha
Infine, usando una notazione più compatta:
Lo sviluppo in serie della cotangente circolare può essere ottenuto dalle (9.1), (7.21) e (7.22)
In modo più compatto:
Per ricavare lo sviluppo in serie della tangente iperbolica si può usare l'uguaglianza
Infatti
Quindi, applicando due volte lo sviluppo in serie della cotangente iperbolica, si ottiene
Calcolando esplicitamente i coefficienti, si ha
In modo più compatto:
Per ottenere lo sviluppo in serie della tangente circolare si può usare l'uguaglianza
Si ha
Calcolando esplicitamente i coefficienti, si ottiene
In modo più compatto:
Dato che
lo sviluppo in serie della cosecante iperbolica può essere ottenuto utilizzando gli sviluppi in serie della cotangente e tangente iperboliche. Dalle (9.1) e (9.3) si ha
Esplicitando i coefficienti
Dalle (7.22) e (9.7) si ha
e, in modo più compatto,
La secante iperbolica può essere espressa in funzione dell'esponenziale
Questa espressione della secante iperbolica coincide con quella della funzione s(x) definita nella (8.2) della pagina precedente, quindi
dove En è lo n-esimo numero di Eulero. Dato che per indici dispari questi numeri sono nulli, si può più economicamente scrivere
Per le formule di Eulero la secante circolare è esprimibile come
Le potenze pari dell'unità immaginaria oscillano tra 1 e -1, quindi, in definitiva
