6. Le funzioni iperboliche inverse


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arcsinh

Il seno iperbolico è una funzione definita su tutto R e sempre crescente: è dunque invertibile su tutto R. La sua funzione inversa è detta arcoseno iperbolico e si denota comunemente con arcsinh. Si ha

Eqn1.gif

Dalla seconda delle (3.9), ricordando che ey>0, si ha

Eqn2.gif

e infine

Eqn3.gif

La derivata dell'arcoseno iperbolico

Dalla (6.1), appilcando la regola della derivazione a catena, si ottiene

Eqn011.gif


arccosh

Il coseno iperbolico non è monotòno, dunque non si può invertire su tutto R. Per avere l'invertibilità bisogna restringere il suo dominio all'insieme dei reali non negativi. Solo in questo caso si può definire la sua funzione inversa, detta arcocoseno iperbolico e denotata da arccosh.

Eqn4.gif

Dalla seconda delle (3.9), escludendo valori negativi di y,

Eqn5.gif

e infine

Eqn8.gif

La (6.2) evidenzia che l'arcocoseno iperbolico è reale solo per argomenti ≥ 1.

La derivata dell'arcocoseno iperbolico

Dalla (6.2), appilcando la regola della derivazione a catena, si ottiene

Eqn012.gif


arctanh

La tangente iperbolica è definita su tutto R ed è sempre crescente e quindi invertibile su tutto R. La sua funzione inversa, detta arcotangente iperbolica, è denotata comunemente da arctanh. Si ha

Eqn6.gif

Dalla terza delle (3.9), ricordando che e2y>0, si ha

Eqn7.gif

e infine

Eqn9.gif

La (6.3) evidenzia che l'arcotangente iperbolica è reale solo per argomenti -1<x<1.

La derivata dell'arcotangente iperbolica

Dalla (6.3), appilcando la regola della derivazione a catena, si ottiene

Eqn013.gif


Integrali immediati

Note le derivate delle funzioni iperboliche inverse, č immediatamente possibile risalire alle antiderivate delle derivate, cioč ottenere gli integrali indefiniti delle derivate.


Gli integrali delle funzioni iperboliche inverse

Integrando per parti si ha: