7. Criteri di convergenza

7.1 Criterio del confronto (Gauss).

Se e sono due serie di numeri reali tali che, per qualunque i, 0 ≤ a_i ≤ b_i, allora

• la prima converge se converge la seconda;
• la seconda diverge se diverge la prima.

Dimostrazione.

• Se B converge, allora è una successione di Cauchy e per qualunque ε reale positivo, per quanto piccolo, si può determinare un indice k tale che, detti m e n (n>m) due qualunque indici successivi a k, . Per l'ipotesi si ha . Dunque anche A è una successione di Cauchy quindi converge.
• Se A diverge,per qualunque M reale positivo, per quanto grande, si può determinare un indice n tale che . Per l'ipotesi si ha . Dunque anche B diverge.

7.2 Criterio del rapporto (D'Alembert).

Se è una successione di numeri reali positivi tale che (con α ovviamente non negativo ma diverso da 1), allora la serie
:

• se α<1, converge;
• se α>1, diverge;

Dimostrazione.

Dall'ipotesi segue che per qualunque ε reale positivo esiste un indice k tale che, per ogni m>k,

• Se α<1, si può assumere in particolare e quindi , da cui

  

  I termini maggioranti sono in successione geometrica. La loro serie, per q< 1, converge e quindi, per il teorema del confronto, converge anche il resto m-esimo della serie A e, in definitiva, la stessa serie A.

• Se α>1, si può assumere in particolare quindi da cui

  

  I termini minoranti sono in successione geometrica. La loro serie, per q> 1, diverge e quindi, per il teorema del confronto, diverge anche il resto m-esimo della serie A e, in definitiva, la stessa serie A.