Se e sono due serie di numeri reali tali che, per qualunque i, 0 ≤ ai ≤ bi, allora
Dimostrazione.
Esempio.
La serie (Serie di Mengoli) è convergente. Infatti
Allora anche la serie è convergente perché gli elementi del suo resto di ordine 1, , sono maggiorati dagli elementi di M di uguale indice. Per il teorema del confronto questo resto converge e di conseguenza converge la serie Q.
Se è una successione di numeri reali
positivi tale che
(con α ovviamente non negativo ma diverso da 1), allora la serie
:
Dimostrazione.
Dall'ipotesi segue che per qualunque ε reale positivo esiste un indice k tale che, per ogni m>k,
Se α<1, si può assumere in particolare e quindi , da cui
I termini maggioranti sono in successione geometrica. La loro serie, per q< 1, converge e quindi, per il teorema del confronto, converge anche il resto m-esimo della serie A e, in definitiva, la stessa serie A.
Se α>1, si può assumere in particolare quindi da cui
I termini minoranti sono in successione geometrica. La loro serie, per q> 1, diverge e quindi, per il teorema del confronto, diverge anche il resto m-esimo della serie A e, in definitiva, la stessa serie A.
Esempio.
La serie converge per ogni a reale positivo. Infatti