2. Successioni aritmetiche

Una successione si dice aritmetica quando la differenza d tra ogni elemento e il precedente è costante. La differenza costante d è detta ragione aritmetica.

Dati il primo elemento a0 e la ragione d, una successione aritmetica è immediatamente definita in modo ricorsivo:

Eqn001.gif

Osservando che

Eqn002.gif

si ottiene agevolmente anche la definizione intensiva della successione.

 

Somma dei primi n numeri naturali

La più familiare delle successioni aritmetiche è la successione dei numeri naturali in cui

Eqn003.gif

La somma dei numeri naturali da 1 a n è

Eqn004.gif

Si supponga n=5 e si rappresenti la somma con un triangolo (in effetti queste somme sono dette numeri triangolari)

image001.gif

Si unisca a questo triangolo un triangolo identico nel seguente modo

image002.gif

Si ottiene un rettangolo di 5x6 cerchietti, numero doppio di quelli del triangolo iniziale. Dunque il triangolo iniziale è formato da (5x6)/2 cerchietti.

È immediato congetturare che questa relazione sia valida in generale per qualunque n, cioè che

Eqn005.gif

Questa congettura si può avvalorare agevolmente applicando il principio di induzione matematica.

 

Somma dei primi n elementi di una successione aritmetica

In una successione aritmetica con primo elemento a0 e ragione d si ha

Eqn007.gif

Ad esempio, considerando la successione aritmetica del paragrafo precedente

Eqn009.gif

Eqn010.gif

la somma dei primi sei elementi risulta

Eqn008.gif

 

 

Si ottiene inoltre

Eqn009.gif