Una successione si dice aritmetica quando la differenza d tra ogni elemento e il precedente è costante. La differenza costante d è detta ragione aritmetica.
Dati il primo elemento a0 e la ragione d, una successione aritmetica è immediatamente definita in modo ricorsivo:
Osservando che
si ottiene agevolmente anche la definizione intensiva della successione.
La più familiare delle successioni aritmetiche è la successione dei numeri naturali in cui
La somma dei numeri naturali da 1 a n è
Si supponga n=5 e si rappresenti la somma con un triangolo (in effetti queste somme sono dette numeri triangolari)
Si unisca a questo triangolo un triangolo identico nel seguente modo
Si ottiene un rettangolo di 5x6 cerchietti, numero doppio di quelli del triangolo iniziale. Dunque il triangolo iniziale è formato da (5x6)/2 cerchietti.
È immediato congetturare che questa relazione sia valida in generale per qualunque n, cioè che
Questa congettura si può avvalorare agevolmente applicando il principio di induzione matematica.
Se è vera per n, allora è vera anche per n+1.
In una successione aritmetica con primo elemento a0 e ragione d si ha
Ad esempio, considerando la successione aritmetica del paragrafo precedente
la somma dei primi sei elementi risulta
Si ottiene inoltre