2. Probabilità.

Per esempio, lo spazio campione delle uscite del lancio di un dado è S={1,2,3,4,5,6}.

Gli eventi sono suoi sottinsieme come E₁ = {1}, E₂ = {2}, E₃ = {3}, E₄ = {4}, E₅ = {5}, E₆ = {6}, E₁₂ = {1,2}, E₂₄₆ = {2,4,6}, ecc.

L'uguaglianza (2.4) dà
quindi, se , si ottiene

Si ha inoltre

• 

• 

• 

Se, per esempio, una scatola contiene tre palle, una rossa, una verde e una blu, ed estraiamo una palla a caso, la probabilità p(R) di estrarre una palla rossa è .

Se facciamo due estrazioni consecutive E_x e E_y, abbiamo un evento composto diverso a seconda che, dopo la prima estrazione, rimettiamo o no nell'urna la palla estratta.

Nel primo caso lo spazio campione è .
Ci sono tre casi su nove in cui la seconda palla estratta è rossa, quindi . In questo caso la probabilità che la seconda palla sia rossa è uguale alla probabilità p(E_y)=p(R) di estrarre una palla rossa in una singola estrazione: gli eventi E_x and E_y sono indipendenti.

Nel secondo caso lo spazio campione è e, come è ovvio, la seconda palla non può essere rossa: p(E_y|E_x)=0≠p(E_y).
Gli eventi E_x e E_y sono dipendenti.

Qual è la probabilità che in un gruppo di n persone scelte a caso, due di esse abbiano lo stesso compleanno?

 

Sia p(n) la probabilità richiesta. La soluzione risulta più agevole se prima si calcola la probabilità opposta . Per semplicità non si considerano gli anni bisestili e si assumono le nascite uniformemente distribuite nel corso dell'anno.

• Se ci sono n=2 persone, la probabilità che la seconda sia nata in un giorno diverso dalla prima è
• Se ci sono n=3 persone, la probabilità che siano nate tutte in giorni diversi è
• Se ci sono n=4 people, la probabilità che siano nate tutte in giorni diversi è
• In generale, per induzione:
• Infine:

Per esempio, la probabilità che su 80 persone ce ne siano due con lo stesso compleanno è : è praticamente sicuro che ci siano due persone con lo stesso compleanno.

Avremmo potuto ottenere lo stesso risultato con il calcolo combinatorio. Infatti q(n) è dato dal rapporto tra le combinazioni C_365,n (cioè tutti i possibili gruppi di n compleanni) e le permutazioni con ripetizione P_365,n, notando che le permutazioni degli stessi elementi sono indistinguibili e vanno contate una sola volta.

 

 

Esempi.

• Se se lancia un dado dieci volte, qual è la probabilità di ottenere 1 due volte?

  La probabilità di ottenere 1 in una singolo lancio è , quindi . Dalla (2.9) si ottiene

  

• Qual è la probabilità di ottenere 1 almeno una volta?

  Conviene calcolare la probabilità che non esca mai 1:

  

  e quindi calcolare la probabilità opposta

  

Nella seguente applicazione JS la probabilità p può essere espressa come decimale o come frazione.

 

Esempio.

In una scuola ci sono 600 ragazze e 400 ragazzi. Il 40% delle ragazze e il 30% dei ragazzi hanno buoni voti in matematica. Qual è la probabilità che una persona che studia in quella scuola sia brava in matematica?

Siano p(E) la probabilità richiesta, p(E₁) la probabilità che la persona sia femmina, p(E₂) la probabilità che la persona sia maschio, p(E|E₁) la probabilità che una ragazza abbia buoni voti e p(E|E₂) la stessa probabilità per un ragazzo.

Dalla (2.12) si ottiene

Lo stesso calcolo può essere svolto in modo più elementare:

• 600·40% = 240 ragazze hanno buoni voti;
• 400·30% = 120 ragazzi hanno buoni voti;
• gli studenti bravi, maschi e femmine, sono240+120 = 360 su 1000 iscritti;
• la probabilità richiesta è 360/1000 = 36%.

 

Nell'esempio precedente, qual è la probabilità che chi ha buoni voti sia una ragazza?

Dalla (2.13) si ha

In modo più elementare:

• le ragazze brave sono 240;
• i ragazzi bravi sono 120;
• gli studenti bravi (maschi o femmine) sono 360;
• su 360 bravi, le ragazze sono 240;
• la probabilità richiesta è 240/360 = 66.7%.