Limiti tendenti a e

(a cura di Roberto Bigoni)


1. Eqn1.gif

Le funzioni a numeratore e a denominatore della frazione sono entrambe continue su tutto ℜ ma entrambe si annullano per x=0. È dunque impossibile calcolare immediatamente il limite della frazione come rapporto tra i limiti del numeratore e del denominatore.

In un intorno di 0 numeratore e denominatore soddisfano ai requisiti del teorema di De L'Hôpital e quindi il limite della frazione può essere calcolato come rapporto tra i limiti delle derivate per x→0, ottenendo immediatamente il valore 1.

Il calcolo del limite è ancora più diretto se si utilizza lo sviluppo in serie dell'esponenziale naturale

Eqn20.gif

È anche possibile dedurre il valore del limite applicando il teorema del confronto.

Si considerino le funzioni

Eqn2.gif

Graficandole insieme in un intorno di 0 si ha

fig0.gif

Il grafico evidenzia che per x non nulle

Eqn3.gif

Ovviamente un grafico, pur essendo indicativo, non può avere valore di prova matematica, ma non è difficile verificare separatamente la validità di tutte le disequazioni. Per ogni x positivo si ha quindi

Eqn4.gif

Poiché per x→0 le funzioni esterne tendono a 1, anche la funzione compresa tra di esse tende a 1.

Se x è negativo, dividendo le tre funzioni per x i confronti cambiano di verso e la situazione non cambia.

Volendo evidenziare geometricamente i confronti tra le tre funzioni nell'intervallo ]0 ; 1[, si può procedere nel seguente modo.

 


2. Eqn6.gif

Se nel limite (1) si pone

Eqn7.gif

si ottiene

Eqn8.gif

In generale

Eqn9.gif

 


3. Eqn15.gif

Se nel limite (2) si pone

Eqn10.gif

si ottiene

Eqn11.gif

In generale

Eqn12.gif

Applicando una nota proprietà dei logaritmi si ha

Eqn13.gif

Ammettendo che il limite di un logaritmo sia uguale al logaritmo del limite si ottiene

Eqn14.gif

 


4. Eqn18.gif

Se nel limite (3) si pone

Eqn16.gif

si ottiene

Eqn17.gif

In generale

Eqn21.gif

 


ultima revisione: 25/06/2016