(a cura di Roberto Bigoni)
La funzione ζ (zeta) di Riemann è definita come
I valori di ζ(n) possono essere approssimati con il calcolo numerico (P. Borwein in "An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function")
I valori di ζ(n), quando n è un numero naturale pari, possono essere dedotti esattamente. Il metodo dovuto ad Eulero (L. Euler) si basa sul seguente procedimento.
Si considera lo sviluppo in serie di MacLaurin del seno
Da questo sviluppo, per x≠0, si ottiene
Gli zeri di p(x) coincidono con quelli di sen x escluso 0.
In generale, un polinomio P(x), con zeri non nulli xk e tale che P(0)=1 può essere fattorizzato in
Per p(x) si ha dunque
Per rendere più chiaro e semplice il processo di calcolo, si pone
ottenendo
Lo sviluppo in serie di MacLaurin di questa funzione è
Per ottenere i coefficienti di questo sviluppo si calcola la derivata prima con il metodo della derivata logaritmica
Per α=0 si ha
p'(0)α deve coincidere con
,
dunque
Si ottiene quindi il valore di ζ(2)
Da p'(α) si deduce p''(α)
deve coincidere con
,
dunque
Si ottiene quindi il valore di ζ(4)
Da p''(α) si deduce p'''(α)
deve coincidere con
,
dunque
Si ottiene quindi il valore di ζ(6)
