Integrali binomiali

(a cura di Roberto Bigoni)


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Si denominano integrali binomiali gli integrali di forma

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La denominazione è giustificata dal fatto che la funzione integranda è la potenza di un binomio che, per valori naturali di n, può essere agevolmente sviluppata in

Eqn001.gif

Integrando questo sviluppo da 0 a 1 si ottiene facilmente

Eqn002.gif

Calcolando i primi termini di questa successione si ha

Eqn003.gif

Si osserva che

Eqn004.gif

Viene quindi spontaneo congetturare che, in generale, per ogni n naturale maggiore di 0,

Eqn005.gif

Eqn006.gif

In particolare

Eqn007.gif

In generale

Eqn008.gif

Nella (6) il doppio punto esclamativo rappresenta il doppio fattoriale (o semifattoriale) del numero che lo precede. Come si vede dagli esempi, se un numero è pari, il suo doppio fattoriale è il prodotto del numero stesso per tutti i pari che lo precedono; analogamente, se il numero è dispari, il suo doppio fattoriale è il prodotto del numero stesso per tutti i dispari che lo precedono.

Nella pagina sull'induzione matematica di questo sito si propone una dimostrazione della (6) osservando che In può essere espresso anche nel seguente modo

Eqn009.gif

In conclusione, per ogni numero naturale n si ha

Eqn010.gif


ultima revisione: Maggio 2018