7. Sviluppi in serie

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Le funzioni circolari e iperboliche dirette e inverse e le funzioni esponenziali e logaritmiche, così come i numeri reali π ed e, sarebbero di scarsa utilità se non fosse possibile dedurne i valori.

Deve essere comunque chiaro che, trattandosi di valori reali, conoscere tali valori significa individuare un algoritmo che produca una successione di valori razionali che converga al valore reale, cioè di fare in modo che il valore assoluto della differenza tra il valore reale e una sua approssimazione razionale possa essere resa piccola a piacere. Per le applicazioni pratiche sono sufficienti buone approssimazioni razionali dei valori reali.

Un semplice esempio di una successione di questo genere è quella costituita dalle potenze con esponente naturale i di un numero reale x con  |x|<1.

I termini di tale successione, all'aumentare di i, risultano sempre più prossimi a 0. Si esprime questo fatto dicendo che, per ogni x reale tale che |x|<1

fig. 1

(leggere: "il limite di xi per i tendente a infinito è 0")

cioè che, per qualunque ε positivo si fissi, si può trovare un numero naturale n (tanto più grande quanto più ε è piccolo) a partire dal quale, |xi|< ε.

Sulla base di questa osservazione, si possono individuare altri interessanti algoritmi convergenti a numeri reali.

 

Serie geometrica.

Si dimostra facilmente che, per ogni x reale diverso da 1,

fig. 2

cioè che

fig. 3

Se |x|<1, il limite per n→∞ della frazione è uguale al limite della somma

fig. 4

In definitiva, si potrà scrivere, semplificando la notazione,

fig. 5

Dalla (7.3) questa si deduce

fig. 6

 

Serie di Mercatore.

La frazione

fig. 7

è la derivata del ln(1+x).

Allora, sempre per |x|<1 e ricordando che ln 1 = 0, si può viceversa dire che, ln(1+x) è la primitiva della somma

fig. 8

e quindi, integrando tutti gli addendi della somma,

fig. 9

Risulta quindi possibile approssimare i logaritmi di tutti i numeri nell'intervallo ]0;2[ e l'approssimazione sarà tanto migliore quanto più alto è il numero degli addendi nella somma.

La sommatoria (7.5) è detta Serie di Mercatore (dal nome latinizzato del matematico danese che la propose per primo (1620-1687). Tale serie, oltre ad avere un dominio di convergenza limitato, ha il difetto di convergere molto lentamente, ma da essa è possibile ricavare serie convergenti più velocemente su tutto il dominio del logaritmo.

Dalla serie di Mercatore si ricava infatti

fig. 10

Sottraendo membro a membro la (7.6) dalla (7.5) e applicandola proprietà fondamentale dei logaritmi si ottiene

fig. 11

Ad esempio, per avere il ln10, posto

fig. 12

si ricava

fig. 13

Si ha quindi dalla (7.7)

fig. 14

 

La (7.7) può offrire un metodo per il calcolo del logaritmo di qualunque numero reale positivo. (Vedere il sorgente dell'esempio, in cui il valore calcolato dalla (7.7) per argomenti compresi tra 0.0001 e 10000 e per approssimazioni non eccessive è confrontato con quello prodotto dalla funzione di libreria di Javascript   Math.log(x))

Arcotangente iperbolica.

La serie (7.7) può anche essere scritta nel seguente modo

fig. 15

ma l'espressione a primo membro equivale alla arcotangente iperbolica (6.5), quindi

fig. 16

 

Arcotangente circolare.

Dalla (7.4)

fig. 17

segue

fig. 18

Il primo membro è la derivata dell'arcotangente circolare, quindi l'arcotangente circolare si ottiene integrando la somma a secondo membro, con la condizione che arctg(0) = 0:

fig. 19

Quest'ultima serie è particolarmente interessante perché da essa si ricava un algoritmo per il calcolo di π:

fig. 20

e quindi

fig. 21

Questa serie per il calcolo di π è nota come serie di Leibniz.

 

Lo sviluppo di McLaurin.

Come le funzioni trattate finora in questo paragrafo, in generale qualunque funzione f(x) definita per x=0 e indefinitamente derivabile in tale punto può essere espressa da una somma di monomi costituiti dalla potenze successive della variabile x moltiplicati per opportuni coefficienti o, come più comunemente si dice, può essere sviluppata in serie di potenze

fig. 22

Ammettendo la (7.8) infatti si ottiene

fig. 23

fig. 24

fig. 25

fig. 26

fig. 27

fig. 28

fig. 29

fig. 30

fig. 31

fig. 32

e procedendo per induzione si ottiene in generale

fig. 33

dove con i! (che si legge i fattoriale) si denota il prodotto di tutti i naturali da 1 a i e con f (i) (x) la derivata i-esima di f(x).

Per estendere la validità della (7.9) al caso i=0 si assume che 0!=1 e che f (0)(x)=f(x).

La (7.9) inserita nella (7.8) fornisce lo sviluppo in serie di potenze di Mac Laurin

fig. 34

È abbastanza agevole verificare che gli sviluppi in serie precedentemente ottenuti possono essere dedotti direttamente usando la (7.10).

 

L'esponenziale naturale e le funzioni dirette iperboliche.

Lo sviluppo in serie di potenze più immediato che si ottiene con la (7.10) è quello della funzione esponenziale naturale ex per la quale tutte le derivate coincidono con la funzione stessa e, per x=0, valgono 1

fig. 35

La serie (7.11) permette di approssimare a piacere il numero di Nepero e = e1

fig. 36

Dalla (7.11) si ha anche

fig. 37

Utilizzando le formule iperboliche di Eulero (3.2), si ottengono dalle (7.12) e (7.13) le serie per il seno e coseno iperbolici, che possono comunque essere direttamente dedotte dalla (7.10)

fig. 38

fig. 39

 

Le funzioni circolari dirette (seno e coseno).

Utilizzando la (7.10) si ottengono abbastanza agevolmente gli sviluppi in serie di potenze per il seno e coseno circolari

fig. 40

fig. 41

Le serie (7.16) e (7.17) differiscono dalle serie (7.14) e (7.15) solo per l'alternanza dei segni dei monomi. Se nelle (7.14) e (7.15) si sostituisce all'argomento reale x l'argomento complesso ix (dove i è l'unità immaginaria) si ha

fig. 42

fig. 43

Le (7.18) e (7.19) permettono di esprimere con le formule di Eulero anche le funzioni circolari

image044.gif

Dalle (7.20) si deduce la seguente identità

fig. 45

che fornisce una ulteriore possibilità, oltre a quella trigonometrica, per l'espressione dei numeri complessi in coordinate polari; infatti il numero complesso polare z(ρ ; θ) può essere indicato come

fig. 46

 

Le funzioni circolari inverse (arcoseno e arcocoseno).

Data la funzione

Eqn047.gif

reale per x<1, le sue derivate successive risultano

Eqn048.gif

Dato che f(0)=1, lo sviluppo in serie di MacLaurin di f(x) risulta

Eqn049.gif

Di conseguenza, per -1<x<1, si ottiene

Eqn050.gif

L'antiderivata G(x) di g(x), tale che G(0)=0, è l'arcoseno di x, dunque

Eqn051.gif

e, in definitiva

Eqn052.gif

L'antiderivata Γ(x) di -g(x) tale che Γ(0)=π/2 è l'arcocoseno di x, dunque

Eqn053.gif

La deduzione dello sviluppo (7.24) risulta molto più diretto se si introduce l'uso dei coefficienti binomiali generalizzati. Infatti da

Eqn054.gif

si ottiene

Eqn055.gif

 

Sviluppo in serie di Fourier

Molte funzioni periodiche di variabile reale x possono essere espresse da serie di funzioni coseno e seno con argomenti kx costituiti da multipli crescenti della variabile x. Questi sviluppi sono noti come serie di Fourier è sono trattati in un'altra sezione di questo sito.