2. La funzione esponenziale naturale

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Se si sottopone la circonferenza trigonometrica x2+y2=1 ad una trasformazione

fig. 1

la circonferenza si trasforma in sè stessa.

Una trasformazione di questo tipo si dice rotazione di ampiezza β.

In particolare, se un punto A(cos α ; sen α) della circonferenza trigonometrica è sottoposto ad una rotazione di ampiezza β, si ottiene sulla circonferenza il punto S(cos(α+β) ; (sen α+β))

fig. 2

Queste relazioni forniscono le formule di addizione per il coseno e per il seno circolari e da esse si possono dedurre immediatamente numerose altre identità trigonometriche.

In modo del tutto analogo, se si sottopone l'iperbole equilatera unitaria x2-y2=1 alla trasformazione

fig. 3

l'iperbole si trasforma in sè stessa.

Tale trasformazione si dice rotazione iperbolica di ampiezza β

In particolare, se un punto A(cosh α ; senh α) della iperbole equilatera unitaria è sottoposto ad una rotazione iperbolica di ampiezza β, si ottiene sull'iperbole il punto S(cosh(α+β) ; sinh(α+β))

fig. 4

Le identità (2.4) sono le formule di addizione per il coseno e per il seno iperbolici.

Da esse si possono dedurre immediatamente numerose altre identità tra funzioni iperboliche, come ad esempio, le formule di prostaferesi (notare somiglianze e diversità con le corrispondenti identità per le funzioni circolari)

fig. 5

La derivata del seno iperbolico è, per definizione,

fig. 6

Per prostaferesi il numeratore è

fig. 7

quindi

fig. 8

La derivata del coseno iperbolico è, per definizione,

fig. 9

per prostaferesi il numeratore è

fig. 10

quindi

fig. 11

Sommando membro a membro le formule di addizione (2.4) si ottiene

fig. 12

fig. 13

fig. 14

fig. 15

In definitiva

fig. 16

Introducendo la funzione exp(x), somma del coseno e del seno iperbolico di x,

fig. 17

si ha

fig. 18

Questa identità indica che la funzione exp(x) è una potenza, in quanto gode di una proprietà tipica delle potenze: il prodotto di potenze di ugual base è una potenza di ugual base con esponente uguale alla somma degli esponenti.

La funzione exp(x) è detta esponenziale naturale e la sua base, che è exp(1)=cosh(1)+senh(1) è usualmente indicata dalla lettera e ed è detta numero di Nepero (dal cognome latinizzato del matematico scozzese del XVI secolo J. Napier).

Il numero e è un irrazionale trascendente, il cui valore, approssimabile con opportuni procedimenti che saranno esposti in seguito, è circa 2.71828182.

Nota la base e, la funzione exp(x) è rappresentabile come potenza di e e quindi

fig. 19

Poiché coshx e sinhx sono definiti su tutto R, anche ex ha per dominio R.

Poiché il coshx è sempre positivo e il suo modulo è sempre maggiore di quello del sinhx, ex è positiva per ogni x, cioè il codominio di ex è l'insieme dei reali positivi ] 0 ; ∞ [.

Inoltre ex è maggiore di 1 per ogni x positivo ed è invece minore 1 per ogni x negativo.

ex è sempre crescente.

Infatti per ogni h positivo ex+h = ex eh > ex

Poiché ex è sempre crescente non ha né massimo né minimo.

Dato che la derivata di una somma è uguale alla somma delle derivate, dalla definizione di ex come somma di coseno e seno iperbolici si deduce che la derivata rispetto a x di ex è ex.