Il fattoriale n! di un numero naturale è definito ricorsivamente dalle seguenti relazioni
Eulero trovò che è possibile definire in modo analogo una funzione di variabile reale Γ(x) ('Gamma di x')
Se si applica la funzione Gamma così definita ad un argomento x+1 coincidente con un numero naturale si ha
Quindi la Gamma, per argomenti naturali, produce valori coincidenti con quelli dei fattoriali
Eulero riuscì ad esplicitare la funzione Γ in questo modo:
Questa definizione infatti implica
e anche
La (4) soddisfa le relazioni (2) e quindi esplicita validamente la Gamma.
In particolare, per la (3), per x coincidenti con valori naturali n, si possono scrivere le seguenti
uguaglianze
La seconda delle relazioni (2) permette di dedurre agevolmente dal valore di
i valori di
per ogni n naturale ≥ 1
Con la sostituzione di variabile t=z2 si ottiene
L'integrale così ottenuto è un
integrale di Gauss e vale
. Quindi
I valori di Γ per successivi incrementi di 1 dell'argomento si ottengono ricorsivamente
In generale, per n ≥ 0,
Nella (8) il doppio punto esclamativo rappresenta il doppio fattoriale del numero naturale che lo precede, cioè, se il numero è dispari, il prodotto del numero stesso per tutti i dispari precedenti e, se il numero è pari, il prodotto del numero stesso per tutti i pari precedenti. Si assume inoltre -1!! = 0!! = 1
Le relazioni (7) e (8) permettono di estendere la definizione di
fattoriale dall'insieme dei numeri naturali, su cui
originariamente è definita, all'insieme
nel seguente modo
In particolare
Dalla seconda delle (2) si deduce anche che
quindi
In modo analogo
In generale, per n ≥ 0,
Si possono quindi definire i valori dei fattoriali sull'insieme
nel seguente modo
In particolare
La definizione di doppio fattoriale di un numero naturale, in modo analogo a quato avviene per i fattoriali, implica la seguente relazione ricorsiva
Volendo usare queste relazioni per estendere l'applicazione del doppio fattoriale all'insieme dei numeri interi relativi, si ottiene
In generale, per n ≥ 1,
È quindi possibile calcolare il doppio fattoriale di un numero negativo dispari. Non è invece possibile tale calcolo per un numero negativo pari perché il calcolo di (-2)!! implica una divisione per 0.
Questa estensione del dominio del doppio fattoriale permette di estendere la validità della (11) a qualunque n intero, positivo, nullo o negativo e quindi di calcolare come frazioni della radice di π i fattoriali dei numeri razionali semiinteri positivi o negativi. In generale, ∀n, n ∈Z,
La relazione (11) permette di estendere la definizione di
coefficiente binomiale anche ad espressioni
del tipo 
.
Infatti, esprimendo i coefficienti binomiali tramite fattoriali, si ottiene
Per k=0 si ha immediatamente
e per k≥1
In particolare:
Se ora si confrontano i termini di questa successione con la successione dei coefficienti delle potenze della variabile x nello sviluppo in serie di Maclaurin della radice quadrata di (1-x) (per x reale e ≤1)
si nota l'identità delle due successioni. Si può quindi dire
Si ottiene così un'identità che permette di estendere il noto sviluppo della potenza di un binomio anche al un caso in cui l'esponente non è un numero naturale.
Ma una procedura del tutto analoga può essere seguita se, invece di
, il primo termine del
coefficiente binomiale è qualunque valore reale r. Infatti, dato
G = Γ(r), si ha
Inoltre
e, proseguendo allo stesso modo,
In generale, per n naturale ≥ 1,
Si può allora concludere che
In sintesi
Usando questa definizione si possono ottenere sviluppi in serie di varie funzioni evitando le laboriose derivazioni necessarie con il metodo di Maclaurin.
Esempi
Se nell'integrale che compare nella (7) si effettua la sostituzione di variabile
si ottiene
e quindi
Moltiplicando e dividendo la funzione integranda per en ed estraendo dall'integrale i valori che non dipendono dalla variabile di integrazione y si ha
La derivata della funzione integranda
è
quindi f(y) ha un massimo assoluto per y=1. Per approssimare l'integrale conviene esprimerlo in funzione di w=y-1
quindi procedere ad una approssimazione della funzione integranda f(w) nel seguente modo (vedere mathworld):
si calcola il logaritmo della funzione
per n sufficientemente grandi, la funzione si annulla velocemente a sinistra e a destra del valore massimante, quindi si può assumere il modulo di w prossimo a zero; per w tali che |w|<1 si può sviluppare il logaritmo in serie di Mercatore
e quindi
limitandosi al primo addendo dello sviluppo
quindi, tornando alla forma esponenziale
a questo punto si ha
sempre nell'ipotesi che la funzione f(w) si annulli rapidamente a sinistra e destra di 1, l'integrale ottenuto non cambia significativamente estendendolo da -∞ a +∞
l'integrale a secondo membro è un
integrale di Gauss
e vale
;
si ha quindi
in definitiva si ottiene
La (14) è la formula di Stirling per l'approssimazione del fattoriale molto utile in numerose situazioni di calcoli probabilistici e statistici.
Ad esempio, con tale formula,
per 10! invece del valore corretto 3628800 si ottiene circa 3598697 con un errore
dell'otto per mille;
per 100! si ottiene un errore dell'otto per diecimila;
per 1000! si ottiene un errore dell'otto per centomila.
Spesso è utile il calcolo del logaritmo del fattoriale. Dalla (15) si ha
Il secondo addendo, per grandi valori di n, è trascurabile ed è sufficiente assumere
ultimo aggiornamento: 09/10/2010