Ministero dell'Istruzione, dell'Università e della Ricerca
ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
CORSO SPERIMENTALE
Indirizzo: PIANO NAZIONALE INFORMATICA

 

Tema di MATEMATICA

 

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.


PROBLEMA 1


 

Della funzione f, definita per 0≤x≤6, si sa che è dotata di derivata prima e seconda e che il grafico della sua derivata f'(x), disegnato a lato, presenta due tangenti orizzontali per x=2 e x=4. Si sa anche che f(0)=9, f(3)=6 e f(5)=3.

  1. Si trovino le ascisse dei punti di flesso di f motivando le risposte in modo esauriente.
  2. Per quale valore di x la funzione f presenta il suo minimo assoluto? Sapendo che Eqn001.gif per quale valore di x la funzione f presenta il suo massimo assoluto?
  3. Sulla base delle informazioni note, quale andamento potrebbe avere il grafico di f?.
  4. Sia g la funzione definita da g(x)=xf(x). Si trovino le equazioni delle rette tangenti ai grafici di f e g nei rispettivi punti di ascissa x=3 e si determini la misura, in gradi e primi sessagesimali, dell'angolo acuto che esse formano.
fig001.jpg

svolgimento

 


PROBLEMA 2


Siano f e g le funzioni definite da Eqn002.gif e Eqn003.gif.

  1. Fissato un riferimento cartesiano Oxy, si disegnino i grafici di f e di g e si calcoli l'area della regione R che essi delimitano tra Eqn004.gif e Eqn005.gif.
  2. La regione R, ruotando attorno all'asse x, genera il solido S e, ruotando attorno all'asse y, il solido T. Si scrivano, spiegandone il perché, ma senza calcolarli, gli integrali definiti che forniscono i volumi di S e di T.
  3. Fissato Eqn006.gif, si considerino le rette r e s tangenti ai grafici di f e di g nei rispettivi punti di ascissa Eqn007.gif. Si dimostri che esiste un solo Eqn007.gif per il quale r e s sono parallele. Di tale valore Eqn007.gif si calcoli un'approssimazione arrotondata ai centesimi.
  4. Sia Eqn008.gif. Per quali valori di x la funzione h(x) presenta, nell'intervallo chiuso Eqn009.gif, il minimo e il massimo assoluti? Si illustri il ragionamento seguito.

svolgimento

 


QUESTIONARIO


 

  1. Si calcoli Eqn101.gif

    svolgimento

  2. Una moneta da 1 euro (il suo diametro è 23,25mm) viene lanciata su un pavimento ricoperto con mattonelle esagonali (regolari) di lato 10 cm. Quale è la probabilità che la moneta vada a finire internamente a una mattonella (cioè non tagli i lati degli esagoni)?

    svolgimento

  3. Sia Eqn102.gif. Per quale valore di x, approssimato a meno di Eqn103.gif, la pendenza della retta tangente alla curva nel punto Eqn104.gif è uguale a 1?

    svolgimento

  4. L'insieme dei numeri naturali e l'insieme dei numeri razionali sono insiemi equipotenti? Si giustifichi la risposta.

    svolgimento

  5. Siano dati nello spazio n punti P1, P2, P2,...,Pn. Quanti sono i segmenti che li congiungono due a due? Quanti i triangoli che hanno per vertici questi punti (supposto che nessuna terna sia allineata)? Quanti i tetraedri (supposto che nessuna quaterna sia complanare)?

    svolgimento

  6. Si dimostri che la curva di equazione Eqn105.gif ha un sol punto di flesso rispetto a cui è simmetrica.

    svolgimento

  7. È dato un tetraedro regolare di spigolo l e altezza h. Si determini l'ampiezza dell'angolo α formato da l e da h.

    svolgimento

  8. Un'azienda industriale possiede tre stabilimenti (A, B e C). Nello stabilimento A si produce la metà dei pezzi, e di questi il 10% sono difettosi. Nello stabilimento B si produce un terzo dei pezzi, e il 7% sono difettosi. Nello stabilimento C si producono i pezzi rimanenti, e il 5% sono difettosi. Sapendo che un pezzo è difettoso, con quale probabilità esso proviene dallo stabilimento A?

    svolgimento

  9. Il problema di Erone (matematico alessandrino vissuto probabilmente nella seconda metà del I secolo d.C.) consiste, assegnati nel piano due punti A e B, situati dalla stessa parte rispetto ad una retta r, nel determinare il cammino minimo che congiunge A e B toccando r. Si risolva il problema nel modo che si preferisce.

    svolgimento

  10. Si provi che fra tutti i coni circolari retti circoscritti ad una sfera di raggio r, quello di minima area laterale ha il vertice che dista Eqn106.gif dalla superficie della sfera.

    svolgimento

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Durata massima della prova: 6 ore.
È consentito soltanto l’uso della calcolatrice non programmabile.
Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.