Problema 2

Detta m l'ordinata di P, la retta OP ha equazione y = m x e la circonferenza

I luoghi dei punti A e B determinano eliminando il parametro m dal sistema

fig. 32

Sviluppando l'equazione risolvente

fig. 33

Sostituendo i due possibili valori di m nell'equazione della retta OP si ha

fig. 34

f₁ ( x ) non esiste dove si annulla il denominatore e non è reale dove il radicando è negativo.
Gli zeri del radicando sono 1 ± 2√ 2. Il dominio di realtà di f₁ ( x ) è dunque

Il radicale, nel dominio, è non negativo e si annulla negli zeri del radicando che determinano punti d'arresto per la funzione. La frazione x/(x-1) è positiva per x negativi o maggiori di 1, nulla per x nullo, negativa per x positivi minori di 1.

In definitiva la f₁ ( x )

è positiva in
negativa in ] 0 ; 1 [
interseca gli assi nell'origine
si arresta sull'asse delle ascisse nei punti di ascissa 1 ± 2√ 2

Per x = 1, f₁ ( x ) ha una singolarità di seconda specie e il grafico presenta un asintoto verticale.

Derivando f₁ ( x ) con le usuali regole si ottiene

fig. 38

Si osserva subito che f₁ ( x ) non è derivabile, oltre che nella singolarità, anche agli estremi del dominio: in questi punti il grafico ha tangente verticale.

Il segno di f₁' ( x ) coincide con il segno del numeratore. Si osserva inoltre che il numeratore si annulla per x = -1 e quindi, per il teorema del resto, è divisibile per x + 1. Eseguendo la divisione si ha

Dato che il trinomio di secondo grado ha discriminante negativo, esso è negativo in tutto il dominio: f₁' ( x ) è positiva dove x + 1 è negativo, cioè per x < -1.

In definitiva, f₁ ( x )

è crescente in ]1 - 2√2 ; -1[
è decrescente in ]-1 ; 1[ U [1 ; 1 + 2√2[
ha un massimo relativo di valore 1 per x_o = -1

La γ₂ è simmetrica di γ₁ rispetto all'asse delle ascisse.

fig. 40

Il massimo relativo M ha coordinate M ( -1 ; 1). f₁' ( -1 ) = 0 quindi la tangente al massimo è la retta di equazione t: y = 1. L'ulteriore punto di intersezione tra questa retta e γ₁ si trova risolvendo il sistema

fig. 41

nel dominio E sapendo inoltre che ci sono due soluzioni coincidenti per x = -1.

L'equazione risolvente è

Per x > 1 si ha

fig. 43

L'unica soluzione accettabile è x = 2 + √3. Calcolando la funzione per questo argomento si ha 1.
Risulta quindi I ( 2 + √3 ; 1 ).

fig. 44

Per l'approssimazione del valore dell'integrale richiesto si può applicare il metodo dei trapezi: graficamente, si calcola il sottomultiplo ennesimo Δx = ( b - a ) / n dell'intervallo di integrazione, si tracciano per i punti a, a+Δx, a+2Δx,... dell'asse delle ascisse le parallele all'asse delle ordinate e si uniscono con segmenti le intersezioni di queste rette con la curva, costruendo un poligono, formato da una somma di trapezi, la cui area approssima per difetto quella sottesa dalla curva. L'approssimazione sarà tanto migliore quanto maggiore è n.

Come esempio di programmazione si propone il codice Javascript (facilmente adattabile anche al C) usato nella form seguente. La funzione appr_integrale(n) viene invocata passandole come parametro la potenza di 10 il cui reciproco indica l'ordine di grandezza dell'approssimazione.

function f(x)
{
  return x/(x-1)*Math.sqrt(7+2*x-x*x);
}

function appr_integrale(n)
{
  eps = Math.pow(10,-n);
  result = 0;
  a = 1-2*Math.sqrt(2);
  b = -1;
  cost = 0.5*f(b);
  k = 0;
  do
    {
      prec = result;
      k +=100;  
      dx = (b-a)/k;
      result = cost;
      x = a;
      for (i=1; i<k; i++)
        {
          x += dx;
          result += f(x);
        }
      result *= dx;
    } while (Math.abs(result-prec) ≥ eps); 
  return result;
}