Problema 2

Esame di stato 2024 - Liceo Scientifico - Prova di Matematica

Svolgimento del Problema 2

testo

Punto a)

Il discriminante del trinomio ax²+bx+1 è b²-4a e, dato che a<0 è negativo, la radice quadrata è reale per . Le radici ennesime sono comunque reali quindi questo è il dominio di realtà delle funzioni f_n(x).

f_n(0)=-1, quindi il punto P(0,-1) appartiene al grafico di ogni funzione del fascio.

• Si ha

  Se x>0 e

  Se x<0 e

  Si ha quindi

  

  I limiti di f'₂(x) per x→0 da destra e da sinistra sono diversi, dunque f₂(x) non è derivabile per x=0.

• Se n>2 le derivate della radice ennesima sono e i loro limiti per x→0 da destra e da sinistra divergono.

  Quindi il punto angoloso per x=0 si ha per n=2.

• Se il grafico di f₂(x) è

  

  f₂(x) è pari, quindi f₂(-1) = f₂(1)

  

  Inoltre f₂(1)=1

  

Punto b)

• g(x) è reale per -1≤x≤1.

  g(x) è pari. Il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate.

  g(-1)=1; g(0)=1; g(1)=1

• Se x<0,

  

  Per x=-1 il grafico ha tangente verticale. La tangente sinistra in x=0 ha coefficiente angolare -1. La funzione è crescente per , decrescente per e ha un massimo relativo in . La funzione ha sempre concavità negativa

  .

• La parità della funzione implica un andamento simmetrico nell'intervallo ]0;1[.

  In particolare si ha un punto angoloso nel punto (0,1).

  

  Tracciando insieme le due curve graficate si ha

  

Punto c)

Data la simmetria del grafico, è sufficiente scegliere 0≥k≥1.

Punto d)

L'area richiesta è data da