Dati i numeri reali a e b (a ≤ b) si dice intervallo aperto e limitato, di estremi a e b, il sottinsieme
a è detto estremo inferiore dell'intervallo L.
b è detto estremo superiore dell'intervallo L.
L'unione di L con il suo estremo inferiore produce il sottinsieme
Questo sottinsieme è detto intervallo limitato chiuso a sinistra.
L'unione di L con il suo estremo superiore produce il sottinsieme
Questo sottinsieme è detto intervallo limitato chiuso a destra.
L'unione di L con i suoi estremi inferiore e superiore produce il sottinsieme
Questo sottinsieme è detto intervallo limitato chiuso.
Dato il numero reale a si dice intervallo aperto illimitato superiormente
a è detto estremo inferiore dell'intervallo I.
L'unione di I con il suo estremo inferiore produce il sottinsieme
Questo sottinsieme è detto intervallo illimitato chiuso a sinistra.
Dato il numero reale b si dice intervallo aperto illimitato inferiormente
b è detto estremo superiore dell'intervallo S.
L'unione di S con il suo estremo superiore produce il sottinsieme
Questo sottinsieme è detto intervallo illimitato chiuso a destra.
Per convenzione si assume
Quando il contesto permette di evitare ambiguità, le notazioni insiemistiche complete degli intervalli possono essere snellite riportando solo la proposizione che identifica effettivamente l'intervallo.
Si può quindi scrivere
Va comunque tenuto presente che mentre (a<x<b) è la proposizione logica che identifica l'insieme L, ]a,b[ è effettivamente l'insieme L e quindi è preferibile, perché più appropriata, la seconda notazione.
Gli operatori fondamentali sulle proposizioni logiche sono: negazione, congiunzione e disgiunzione, mentre i corrispondenti operatori fondamentali sugli insieme sono la complementazione, l'intersezione e l'unione.
Operando sugli intervalli quindi si considereranno legittime le seguenti scritture
Operando matematicamente su proposizioni logiche risulta più efficace rappresentare le connessioni logiche incolonnando le proposizioni connesse, invece di scriverle in linea come è usuale nel calcolo logico.
Si propone la seguente convenzione:
il connettivo di congiunzione logica è rappresentato dalla parentesi graffa;
il connettivo di disgiunzione logica è rappresentato dalla parentesi quadra.
Si considereranno quindi equivalenti le seguenti notazioni:
